余弦定理及其变形（求边、求角）
公式初稿待审bx2-c11-s1-k1
一句话 · 余弦定理 a² = b² + c² − 2bc cosA 把三边与一个角连起来，A = 90° 时退化为勾股定理；把它解出余弦就得到变形 cosA = (b² + c² − a²)/(2bc)。原形解决「已知两边及夹角求第三边」，变形解决「已知三边求角」。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
直角三角形：C = 90° 时 a² + b² = c²
一般三角形：只知道两条边还不够，还要知道它们的夹角
直角三角形里三边有关系。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
在 △ABC 中，b = 3，c = 8，A = π/3，求 a
a² = 3² + 8² − 2×3×8×cos(π/3)
= 9 + 64 − 24 = 49
a = 7
卡住了？展开这一段的讲解
第一题。两边和夹角都给了，直接代定理。
- 2第 9 段例题
在 △ABC 中，a = 5，b = 7，c = 8，求角 B
cosB = (a² + c² − b²)/(2ac)
= (25 + 64 − 49)/(2×5×8) = 40/80 = 1/2
B = π/3
卡住了？展开这一段的讲解
第二题。三边已知，用变形算余弦，再看角。
- 3第 10 段例题
在 △ABC 中，b = 5，c = 3，A = 2π/3，求 a
cos(2π/3) = −1/2，代入时负号要留在式子里
a² = 25 + 9 − 2×5×3×(−1/2) = 34 + 15 = 49
a = 7
卡住了？展开这一段的讲解
第三题。夹角是钝角，余弦带负号，这一步最容易丢。
③章节训练
第11章 解三角形 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 余弦里的角与等号左边的边配错：算 a² 时写成 cosB
- 夹角是钝角时忘了余弦为负，把 −2bc cosA 这一项算成加
- 变形求角时分母写错，应为另两条边乘积的两倍
- 把余弦定理用在「已知两角一边」这类条件上，那属于正弦定理
- 算出边长后不检验两边之和是否大于第三边
看完自测（3 题）
余弦定理解决哪两类问题？
看答案与理由
答： 已知两边及它们的夹角求第三边（用原形）；已知三边求角（用变形）。
为什么： 定理本身含四个量，知三求一；条件里出现「夹角」就用原形，给的是三条边就用变形。
在 △ABC 中，若 a² = b² + c²，角 A 是多少？
看答案与理由
答： A = 90°，这时余弦定理退化成勾股定理。
为什么： 因为 a² = b² + c² − 2bc cosA，要使它等于 b² + c²，必须 cosA = 0。
已知三边 a = 5，b = 7，c = 8，求角 B 时，分子上写哪三条边的平方？
看答案与理由
答： 写 a² + c² − b²，也就是角 B 两条邻边的平方和减去对边 b 的平方。
为什么： 变形的一般规律是「角的两条邻边平方和 − 对边平方」再除以「两邻边积的两倍」。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。