三角形的外接圆半径与正弦定理的关系
概念初稿待审bx2-c11-s2-k2
一句话 · 正弦定理里的比值是三角形的外接圆直径 2R，所以 R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)；把它与面积公式 K = (1/2)ab·sinC 联立，还能得到 R = abc/(4K)。由 sinA = a/(2R) 反推角时，正弦值对应两个候选角，要用大边对大角筛掉不合格的那一个。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
温故：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
上节课的比值等于二 R。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
在 △ABC 中，a = 2，A = π/6，求外接圆半径 R
正弦定理：a/sinA = 2R
2R = 2 ÷ (1/2) = 4，所以 R = 2
卡住了？展开这一段的讲解
第一道。已知一条边与它的对角，求外接圆半径。
- 2第 9 段例题
提醒一：a = 2R·sinA ≤ 2R，所以边长不会超过直径，R ≥ a/2
本题 R = 2 恰好取到 a/2，说明 A = π/6 之外还需要别的信息才能定 R
提醒二：a = 2R·sinA 里的 a 必须配自己的对角 A，不能配 sinB
换个已知量核对：若再给 b = 2√3，则 sinB = b·sinA/a = √3/2
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这道题还藏着两个提醒，一个关于取值上限，一个关于对边对齐。
- 3第 10 段例题
在 △ABC 中，a = 5、b = 7、c = 8，求外接圆半径 R
先求面积：p = 10，K = 根号(10×5×3×2) = 10√3
再用 R = abc/(4K) = 280/(40√3) = 7√3/3
核对：4KR = 4×10√3×7√3/3 = 280 = abc
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第二道。给三条边，用面积搭桥求出外接圆半径。
③章节训练
第11章 解三角形 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把比值 2R 当成外接圆半径 R，忘记比值是直径
- 由 sinA = a/(2R) 求出正弦值后直接写一个锐角，漏掉它的补角
- 把 a = 2R·sinA 里的边配错角，写成 a 配 sinB
- 用 R = abc/(4K) 时把 K 当成 2K 或把 4K 写成 2K
- 以为外接圆半径一定大于最长边（实际 R 只保证不小于最长边的一半）
看完自测（3 题）
正弦定理里的 2R 与 R 分别是什么？
看答案与理由
答： 2R 是外接圆直径，R 是外接圆半径，圆心是三边中垂线的交点。
为什么： 每条边都是外接圆的弦，弦长等于 2R 乘它所对圆周角的正弦，所以三组比值都等于直径。
已知 a = 5、b = 7、c = 8，外接圆半径 R 等于多少？
看答案与理由
答： R = 7√3/3。
为什么： 先用海伦公式得面积 K = 10√3，再代入 R = abc/(4K) = 280/(40√3) = 7√3/3。
由 sinA = 1/2 能确定 A 吗？
看答案与理由
答： 不能直接确定。在 (0, π) 上 A = π/6 或 5π/6，还要看边的大小关系才能筛掉一个。
为什么： 正弦函数在 (0, π/2) 与 (π/2, π) 上各有单调的一段，同一个正弦值对应两个互补的角；大边对大角给出筛除依据。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。