两边一对角时解的个数判断（可能两解，容易漏）

易错初稿待审

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一句话 · 已知 a、b 与边 a 的对角 A 时，先算 h = b·sinA 并比较 a 与 h、a 与 b：A 为锐角时 a < h 无解、a = h 一解、h < a < b 两解、a ≥ b 一解；A 为直角或钝角时 a > b 一解、否则无解。两解的来源是正弦值对应 B 与 π − B 两个候选角，它们必须同时通过 A + B < π 与「大边对大角」两道筛选。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

已知两角一边或两边一对角解三角形

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

场景固定：已知 a、b 与边 a 的对角 A

由正弦定理：sinB = b·sinA/a

讲稿

上节课已经见过一道两解的题。

②例题实操

5 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 在 △ABC 中，A = π/6，a = √2，b = 2，求 B 与 c
- 先算 h = b·sinA = 2×(1/2) = 1；a = √2 大于 h
- 又 a = √2 小于 b = 2，所以按判据是两解
- sinB = b·sinA/a = 2×(1/2)/√2 = √2/2
卡住了？展开这一段的讲解
第一道是标准的两解题，一步一步走。
2第 8 段例题
- 候选一 B = π/4：A + B = 5π/12 小于 π，C = 7π/12
- 此时 c = a·sinC/sinA = √2×(√6 + √2)/4/(1/2) = √3 + 1
- 候选二 B = 3π/4：A + B = 11π/12 小于 π，C = π/12
- 此时 c = a·sinC/sinA = √2×(√6 − √2)/4/(1/2) = √3 − 1
卡住了？展开这一段的讲解
两个候选角逐个验，两个都活下来了。
3第 9 段例题
- 两关验过：两个候选都使 C 大于 0
- b = 2 大于 a = √2，所以 B 必须大于 A = π/6，两个候选都满足
- 核对 c：√3 + 1 ≈ 2.732，√3 − 1 ≈ 0.732，两者之和为 2√3 ≈ 3.464
- 答：B = π/4、c = √3 + 1，或 B = 3π/4、c = √3 − 1
卡住了？展开这一段的讲解
验完还要说明为什么两个都对：它们都满足两关。
4第 10 段例题
- 在 △ABC 中，A = π/3，a = 2√3，b = 2，求 B 与 c
- h = b·sinA = 2×(√3/2) = √3；a = 2√3 大于 b = 2，按判据是唯一解
- sinB = b·sinA/a = 2×(√3/2)/(2√3) = 1/2
- 候选：B = π/6 或 B = 5π/6
卡住了？展开这一段的讲解
换一组数据，同样的正弦值，这回只剩一个解。
5第 11 段例题
- 依据一（大边对大角）：b = 2 小于 a = 2√3，所以 B 小于 A = π/3
- B = 5π/6 ≈ 2.618 大于 π/3，被筛掉，原因写明：它不满足 B 小于 A
- 依据二（内角和）：B = 5π/6 时 A + B = 7π/6 大于 π，也不成立
- 留下 B = π/6，此时 C = π/2，c = 2√3×1/(√3/2) = 4
卡住了？展开这一段的讲解
这一回必须筛掉一个，两条依据都说同一个话。

③章节训练

第11章解三角形 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

100 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

只写一个锐角解，把补角那一解漏掉（最高频的丢解）
a ≥ b 时照旧写两解，忘记此时 B 必为锐角
只算出正弦值就下结论，不检查它是否超过 1
两个候选都写上却不验证 C = π − A − B 是否大于 0
筛掉一个候选时只写结论，不写是哪一条依据筛的

看完自测（3 题）

已知 A = π/6、a = 2、b = 3，三角形有几个解？
看答案与理由
答：两个。
为什么： h = b·sinA = 3×(1/2) = 1.5，而 1.5 < 2 < 3，即 h < a < b，符合两解的条件。
已知 A = π/3、a = 2√3、b = 2，B 为什么只有一个值？
看答案与理由
答：因为 b < a，所以 B < A = π/3，而 sinB = 1/2 的另一个候选 5π/6 比 π/3 大，被筛掉。
为什么： 同一组数据下，大边对大角与内角和这两条依据都会把 B = 5π/6 排除；剩下的 B = π/6 使 C = π/2。
如果算出的 sinB = 1.2，还要继续筛候选角吗？
看答案与理由
答：不用，直接判无解。
为什么： 任何角的正弦都不超过 1，正弦值超过 1 说明这样的三角形不存在，解三角形到此结束。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: pending
段落数: 13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。