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已知两角一边或两边一对角解三角形

方法AI 交叉复核 · 非教师审核

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一句话 · 解三角形先认条件：已知两角一边（AAS 或 ASA）时，用内角和补出第三个角就唯一确定了；已知两边与其中一边的对角（SSA）时，要先由 sinB = b·sinA/a 求出正弦值，得到 B 与 π − B 两个候选角，再用 A + B < π、大边对大角、正弦值不超过 1 这三条逐一把不合格的候选筛掉，留下来的才是解。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

解三角形：由已知的几个元素，求出其余的元素

已知 AAS 或 ASA：两角加一边

讲稿

解三角形就是凑够三个条件把三条边三个角都求出来。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 8 段例题

    • 在 △ABC 中，A = π/6，B = π/4，a = 2，求 b 与 c

    • 补角：C = π − π/6 − π/4 = 7π/12

    • 正弦定理：a/sinA = 2/(1/2) = 4 = 2R

    • b = 4·sin(π/4) = 2√2

    卡住了？展开这一段的讲解

    第一道是两角一边，属于最省事的一类。

  2. 2第 9 段例题

    • c = 4·sin(7π/12) = 4×(√6 + √2)/4 = √6 + √2

    • 核对：c 是最长边，对角 C = 7π/12 也是最大角，合理

    • 外接圆半径 R = 4/2 = 2

    • 两角一边这一步没有任何分支，答案唯一

    卡住了？展开这一段的讲解

    接着把 c 算完，顺便核对一遍三个角都在。

  3. 3第 10 段例题

    • 在 △ABC 中，A = π/6，a = 2，b = 2√3，求 B 与 c

    • sinB = b·sinA/a = 2√3×(1/2)/2 = √3/2

    • 两个候选：B = π/3 或 B = 2π/3

    • b 大于 a，所以 B 大于 A = π/6，两个候选都过这一关

    卡住了？展开这一段的讲解

    第二道换成两边一对角，先把正弦算出来。

  4. 4第 11 段例题

    • 候选一 B = π/3：C = π − π/6 − π/3 = π/2，c = 2×sin(π/2)/(1/2) = 4

    • 候选二 B = 2π/3：C = π − π/6 − 2π/3 = π/6，c = 2×(1/2)/(1/2) = 2

    • 两个 C 都大于 0，两条路都成立 —— 这道题确实有两解

    • 筛选的三条依据要一起用：A + B 小于 π、大边对大角、正弦值不超过 1

    卡住了？展开这一段的讲解

    两个候选都留下了，难道真有两个三角形？把内角和验一遍。

③章节训练

第11章 解三角形 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

100 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • SSA 求出 sinB 后直接取锐角，漏掉 π − B 这个候选解
  • 两个候选角都写上去，却没有验证它们的 C = π − A − B 是否大于 0
  • 已知两角一边的题目也去讨论两解，把唯一解的题做成两个答案
  • 把 sinB 算出的数直接当成角 B，忘了它是正弦值不是角
  • 筛选时只说「大边对大角」而不写出具体的边角比较过程

看完自测（3 题）

  • 已知两角一边解三角形，答案为什么一定唯一？

    看答案与理由

    答： 因为两个角相等就使两个三角形相似，再有一条边相等就全等，所以形状与大小都被定住。

    为什么： 由 A + B + C = π 补出第三个角后，三个角全知道；此时正弦定理给出的每条边都只有唯一的值。

  • 已知 A = π/6、a = 2、b = 2√3，B 有几个可能值？

    看答案与理由

    答： 两个：B = π/3 与 B = 2π/3，对应 c = 4 与 c = 2 两个三角形。

    为什么： sinB = √3/2 在 (0, π) 上有两个解；b > a 只排除了 B < A 的情形，这两个候选都大于 π/6，而且 A + B 都小于 π。

  • 已知 A = π/3、a = 2、b = 2√3，B 有几个可能值？

    看答案与理由

    答： 没有这样的三角形：sinB = 3/2 > 1，题目无解。

    为什么： sinB = b·sinA/a = 2√3·sin(π/3)/2 = 3/2，超过 1，不存在这样的角 B —— 与上一问（A = π/6 时 sinB = √3/2 < 1，有两解）形成对照，说明 SSA 要先用「正弦值是否超过 1」做第一道检查。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。