用余弦定理判断三角形的形状（锐角、直角、钝角）
方法初稿待审bx2-c11-s1-k3
一句话 · 判断三角形的形状只需看最长边所对的角：设 c 是最长边，则 a² + b² > c² 时是锐角三角形，a² + b² = c² 时是直角三角形，a² + b² < c² 时是钝角三角形。因为最大角一旦是锐角，另外两个角必然更小，也都是锐角。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
已知三边：5、7、8
问题：它是锐角、直角还是钝角三角形？
不画图也能判断，靠余弦定理
只给三条边，不给图，能判断这个三角形是什么形状吗？
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
已知三边 5、7、8，判断形状
最长边 c = 8，它对的角 C 就是最大角
a² + b² = 5² + 7² = 74
c² = 8² = 64
卡住了？展开这一段的讲解
看第一道。三边是五、七、八，最长的那条是八。
- 2第 9 段例题
a² + b² − c² = 74 − 64 = 10 > 0
cosC = 10 / (2×5×7) = 1/7 > 0
最大角 C 是锐角，三个角就都是锐角
结论：锐角三角形
卡住了？展开这一段的讲解
七十四比六十四大，所以最大角是锐角。
- 3第 10 段例题
3² + 4² = 25，5² = 25，两者相等
cosC = 0，最大角是直角
结论：直角三角形
卡住了？展开这一段的讲解
换成三、四、五。这次平方和正好相等，是直角三角形。
③章节训练
第11章 解三角形 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 没先找最长边，把普通的 a² + b² 与 c² 拿来比较，结论会相反
- 把 a² + b² < c² 判成锐角三角形（符号记反）
- 只算出一个角的余弦为正就断言是锐角三角形，没有说明为什么要挑最大角
- 忘先检查三边能否构成三角形，就直接比较平方和
- 把 a² + b² 与 c² 的比较写成 a + b 与 c 的比较，用边长代替了平方
看完自测（3 题）
三边为 5、7、8 的三角形是什么形状？
看答案与理由
答： 锐角三角形。最长边 8 所对的角余弦为 1/7，是正的。
为什么： 5² + 7² = 74 > 64 = 8²，分子为正，最大角是锐角，三个角就都是锐角。
为什么要挑最长边来算，而不是随便挑一条边？
看答案与理由
答： 因为最大角是锐角时，另外两个角一定更小，也都是锐角；判一个角就够。
为什么： 三角形内角和固定是 π，最大的角一旦不超过直角，其余的角自然也不超过。
算出 cosC = −1/4，能判断什么？
看答案与理由
答： C 是钝角。若 C 还是最大角，则三角形是钝角三角形。
为什么： 余弦在 0 到 π 之间为负恰好对应钝角；但形状结论还要求这个角确实是最大角。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。