已知两边及夹角求第三边，已知三边求角
方法初稿待审bx2-c11-s1-k2
一句话 · 余弦定理只有两条用法：给两边及夹角就用原形 a² = b² + c² − 2bc cosA 求第三边；给三边就用变形 cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) 求角。求角时优先算最大边对的角——若它是锐角，三角形就是锐角三角形；钝角时余弦带负号，最容易丢。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
a² = b² + c² − 2bc cosA 里共有四个量：a、b、c、A
题目一定给出其中三个，求剩下的那一个
定理里有四个量，知三求一。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
在 △ABC 中，b = 5，c = 8，A = π/3，求 a 与周长
a² = 25 + 64 − 2×5×8×(1/2) = 89 − 40 = 49
a = 7，周长 = 5 + 8 + 7 = 20
卡住了？展开这一段的讲解
第一题。求第三边，代原形，顺手把周长也算出来。
- 2第 9 段例题
在 △ABC 中，b = 4，c = 3，A = 2π/3，求 a
cos(2π/3) = −1/2，所以 2bc cosA = −12
a² = 16 + 9 − (−12) = 37
a = √37 ≈ 6.0828
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第二题。夹角是钝角，负号千万别丢。
- 3第 10 段例题
在 △ABC 中，三边为 3、5、7，求最大角
最大边 7 对着最大角（设为 C）
cosC = (9 + 25 − 49)/(2×3×5) = −15/30 = −1/2
C = 2π/3，即最大角为 120°
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第三题。三边求角，先算最长边对的那个角。
③章节训练
第11章 解三角形 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 夹角是钝角时忘了余弦为负，把 −2bc cosA 写成加，第三边算小
- 变形求角时分子符号写反，把「邻边平方和 − 对边平方」颠倒
- 分母没有用两条邻边乘积的两倍，而是用了别的边
- 三边求角时不算最大角，算完小角就下结论
- 求出边长后不检验两边之和是否大于第三边
看完自测（3 题）
怎样一眼判断该用原形还是变形？
看答案与理由
答： 条件里有夹角（两边夹一角）就用原形求第三边；条件给的是三边就用变形求角。
为什么： 定理含四个量，知三求一；给的三条信息是什么，就决定了哪条路更省事。
已知三边求角，为什么建议先求最大角？
看答案与理由
答： 最大边对最大角，算出它的余弦就能判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。
为什么： 余弦为正说明最大角是锐角，三个角就都是锐角；否则一算就知道是直角或钝角。
在 △ABC 中，b = 4，c = 3，A = 2π/3，用原形求 a 时哪一步最容易错？
看答案与理由
答： 2bc cosA 这一步，因为 cos(2π/3) = −1/2，这一项是负的，减去它等于加。
为什么： 钝角的余弦为负，符号一丢，算出的第三边就会偏小。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。