二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式初稿待审bx2-c10-s2-k1
一句话 · 在 sin(α+β)、cos(α+β)、tan(α+β) 中令 β=α，就得到二倍角公式 sin2α=2sinαcosα、cos2α=cos²α−sin²α、tan2α=2tanα/(1−tan²α)；它是和角公式的特例，不必单独背。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
和角公式里有两个角。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
已知 sinα = 3/5，α ∈ (0, π/2)
求 sin2α、cos2α、tan2α
卡住了？展开这一段的讲解
看一个例子。已知正弦是五分之三，阿尔法是锐角，要求三个二倍角值。
- 2第 9 段例题
cosα = 4/5
sin2α = 2·(3/5)·(4/5) = 24/25
cos2α = (4/5)² − (3/5)² = 7/25
tan2α = sin2α / cos2α = 24/7
卡住了？展开这一段的讲解
先用平方关系补出余弦，得五分之四。再把三个公式各代一次。
- 3第 10 段例题
2sin15°cos15° = sin30° = 1/2
逆用：见到 2sinαcosα 就写成 sin2α
卡住了？展开这一段的讲解
公式反过来用更常见。二倍的正弦乘余弦，就是两倍角的正弦。
③章节训练
第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把 sin2α 当成 2sinα，把角上的 2 误当成函数值的倍数
- 把 cos2α 记成 cos²α + sin²α（那等于 1）
- 用 tan2α 公式时不先检查分母 1 − tan²α 是否为零
- 只会正向代入，看到 2sinαcosα 想不到逆用成 sin2α
- 求 cos2α 时忘记要把 sinα 与 cosα 都先平方
看完自测（3 题）
二倍角公式是怎么来的？
看答案与理由
答： 把和角公式里的两个角取成相等，即令 β=α，整理即得。
为什么： 这样三条二倍角公式都不用死记，忘了随时可以推一遍。
sin2α 等于 2sinα 吗？
看答案与理由
答： 不等于。sin2α 是角 2α 的正弦，它等于 2sinαcosα。
为什么： 那个 2 长在角上，不是函数值的倍数，取 α=π/2 一代就能看出差别。
用 tan2α = 2tanα/(1−tan²α) 之前要先注意什么？
看答案与理由
答： 先看 tanα 是否存在，且 1 − tan²α 是否为零。
为什么： tanα = ±1 时分母为零，此时 tan2α 反而不存在。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。