两角差的余弦公式 C(α−β) 及其推导思路
公式初稿待审bx2-c10-s1-k1
一句话 · 两角差的余弦公式：cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，记忆抓手是「余弦乘余弦、正弦乘正弦，中间加号」；推导靠单位圆上两点距离的两种算法相等。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
✗ cos(α − β) = cosα − cosβ
那它到底等于什么？
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
|P₁P₂|² = (cosα − cosβ)² + (sinα − sinβ)²
= 2 − 2(cosαcosβ + sinαsinβ)
卡住了？展开这一段的讲解
推导第一步：用距离公式算两点距离的平方，得到二减去二倍括号里的那个和。
- 2第 8 段例题
OP₁ · OP₂ = |OP₁||OP₂|cos(α − β)
= cos(α − β) （因为两个模都是 1）
卡住了？展开这一段的讲解
第三步：同一个数量积再按坐标展开。写出来就是余弦乘余弦加正弦乘正弦。
- 3第 9 段例题
OP₁ · OP₂ = cosα·cosβ + sinα·sinβ
卡住了？展开这一段的讲解
第三步：同一个数量积再按坐标展开，写出来就是余弦乘余弦加正弦乘正弦。
- 4第 10 段例题
cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
卡住了？展开这一段的讲解
第四步：同一个数用两种算法写出来，令它们相等，公式就出来了。
③章节训练
第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把 cos(α−β) 拆成 cosα−cosβ
- 把中间的加号写成减号（那是和角公式的符号）
- 只记结论，说不出「单位圆两点距离」这条推导线索
- 推导时把两个单位向量的数量积与夹角弄混
看完自测（3 题）
cos(α−β) 展开后中间是加号还是减号？
看答案与理由
答： 加号：cosαcosβ + sinαsinβ。
为什么： 差角的余弦，符号与和角相反，这是最易记反的地方。
推导这个公式的关键模型是什么？
看答案与理由
答： 单位圆上以原点为顶点的两个角，用「两点距离」的两种算法相等。
为什么： 一个距离既能用坐标算，又能用数量积算，令两者相等即得公式。
为什么公式里有 cosαcosβ 这一项？
看答案与理由
答： 因为它是两个单位向量的数量积按坐标展开时的横坐标贡献。
为什么： OP₁·OP₂ = cosαcosβ + sinαsinβ，正是坐标展开的结果。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。