两角和与差的正弦、余弦、正切公式
公式初稿待审bx2-c10-s1-k2
一句话 · 两角和与差的正弦、余弦、正切公式都由两角差的余弦公式推出；记忆抓手是「余弦要变号、正弦不变号」，正切公式还要检查分母 1∓tanαtanβ 是否为零。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
C(α−β) 已经有了
上一节只解决了余弦的差角。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
sin75° = sin(45°+30°)
= sin45°cos30° + cos45°sin30°
= (√6+√2)/4
卡住了？展开这一段的讲解
先算正弦七十五度。写成四十五度加三十度，再按正弦和角展开。
- 2第 8 段例题
cos105° = cos(60°+45°)
= cos60°cos45° − sin60°sin45°
= (√2−√6)/4
卡住了？展开这一段的讲解
余弦一百零五度用的是余弦和角。中间的减号千万别写成加号。
- 3第 9 段例题
tan105° = tan(60°+45°)
= (√3+1)/(1−√3)
= −2−√3
卡住了？展开这一段的讲解
正切一百零五度：先取正切六十度与四十五度，再代正切和角公式。
- 4第 10 段例题
sinα = 3/5 且 α 在第二象限 ⇒ cosα = −4/5
cosβ = −5/13 且 β 在第三象限 ⇒ sinβ = −12/13
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ = 33/65
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给值求值先补齐缺的量。角的范围决定开方取正还是取负。
③章节训练
第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把 cos(α+β) 写成 cosαcosβ + sinαsinβ（余弦的符号要变）
- 把 sin(α+β) 的中间项写成 sinαsinβ（正弦的两项都是「正余」型）
- 正切公式里分子分母的符号一起记反
- tanαtanβ = 1 时仍硬套正切公式（此时 α+β 的正切不存在）
- 给值求值时忽略角的范围，把开方的符号取错
看完自测（3 题）
cos(α+β) 与 sin(α+β) 展开后，中间的符号分别与括号内的符号有什么关系？
看答案与理由
答： 余弦相反（括号内是加，中间就是减）；正弦相同（括号内是加，中间也是加）。
为什么： 这就是「余弦要变号、正弦不变号」这句话的全部内容。
为什么正弦公式可以看成余弦公式的推论？
看答案与理由
答： 用诱导公式 sinθ = cos(π/2 − θ)，把 θ 换成 α+β 后按余弦的差角展开即可。
为什么： 这样整节公式都只依赖已经证过的余弦差角公式，不必另起一套推导。
使用 tan(α+β) 的公式前，要先确认什么？
看答案与理由
答： 先确认 1 − tanαtanβ 不为零，且 α、β、α+β 的正切都存在。
为什么： α = β = π/4 时分母为零，而 α+β = π/2 的正切本来就不存在，公式没有意义。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。