公式的逆用与变形（辅助角公式 asinx+bcosx 的化简）
方法初稿待审bx2-c10-s1-k3
一句话 · 辅助角公式 asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ) 是两角和的正弦公式的逆用：振幅 √(a²+b²) 直接给出最值，周期由角里 x 的系数决定，φ 要用 (a,b) 的象限锁定。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
逆用 1：cosαcosβ + sinαsinβ = cos(α−β)
公式不光能正着用。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
√3 sinx + cosx
= 2(√3/2·sinx + 1/2·cosx)
= 2(sinxcos(π/6) + cosxsin(π/6))
= 2sin(x + π/6)
卡住了？展开这一段的讲解
先化简根号三倍 sinx 加 cosx。振幅是根号下三加一，等于 2。
- 2第 8 段例题
3sinx + 4cosx = 5sin(x+φ)，tanφ = 4/3
最大值 5，最小值 −5
最小正周期 T = 2π
卡住了？展开这一段的讲解
三倍正弦加四倍余弦，振幅是五。最小正周期还是二派。
- 3第 9 段例题
f(x) = sinx + cosx = √2·sin(x + π/4)
x∈[0, π/2] ⇒ x+π/4∈[π/4, 3π/4]
最大值 √2（x=π/4），最小值 1（端点）
卡住了？展开这一段的讲解
限定区间时，先看合成后的角落在哪个范围，再取最值。
- 4第 10 段例题
√3 sin2x + cos2x = 2sin(2x + π/6)
最大值 2，最小正周期 T = π
卡住了？展开这一段的讲解
如果角是二倍 x，公式照样用，只是周期跟着变成派。
③章节训练
第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 只由 tanφ = b/a 求 φ，忽略 (a,b) 的象限，导致 φ 差 π
- 把振幅写成 a+b 或 √(a+b)，而不是 √(a²+b²)
- 误以为最值可以两项各取最大再相加（sinx 与 cosx 不能同时取到 1）
- 角是 2x 时仍把周期写成 2π，忘了周期由 x 的系数决定
- 把「逆用公式」写成「把两项分别求最值再合并」
看完自测（3 题）
asinx+bcosx 合并后的振幅是多少？这个振幅有什么用处？
看答案与理由
答： 振幅是 √(a²+b²)，它就是函数的最大值，最小值是 −√(a²+b²)。
为什么： 合成后函数写成 √(a²+b²)sin(x+φ)，正弦的取值范围直接给出最值。
为什么确定 φ 时不能只用 tanφ = b/a？
看答案与理由
答： 因为 φ 与 φ+π 的正切相同，必须再用点 (a,b) 的象限挑出唯一的那一个。
为什么： 例如 (−1,1) 与 (1,−1) 都给出 tanφ = −1，但对应 φ = 3π/4 与 φ = −π/4，合成结果差一个负号。
把 3sinx+4cosx 写成 5sin(x+φ) 后，最小正周期怎么读？
看答案与理由
答： 周期只由角里 x 的系数决定：这里是 x，所以 T = 2π，与振幅 5 无关。
为什么： 振幅只影响最值，不影响周期；若角是 2x，周期才是 π。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。