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给值求值与给值求角（角的范围与配凑）

方法初稿待审

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一句话 · 给值求值靠配凑：把待求角拆成已知角的和差再套公式；给值求角靠范围：先求出目标角的某个三角函数值，再用角的范围把满足条件的角唯一确定下来。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 2 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

给值求值：把待求角拆成已知角的和差

讲稿

给了几个角的函数值，要算另一个角。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 7 段例题

    • β = (α+β) − α

    • cosβ = cos(α+β)cosα + sin(α+β)sinα

    • 锐角条件下两个角的正弦都取正

    卡住了？展开这一段的讲解

    已知两个角的余弦，要求第三个角。先把贝塔写成两个已知角的差。

  2. 2第 8 段例题

    • tanα = 1/3、tanβ = 1/2 ⇒ tan(α+β) = 1

    • α、β 为锐角 ⇒ α+β∈(0, π)

    • 故 α+β = π/4

    卡住了？展开这一段的讲解

    求角先求正切，再用范围锁定。锐角之和在零到派之间。

  3. 3第 9 段例题

    • tanα = 1/3 > 0 ⇒ α 在第一象限

    • tanβ = 1/2 > 0 且 β∈(π, 3π/2) ⇒ β 在第三象限

    • α+β∈(π, 2π)，由 tan(α+β) = 1 得 α+β = 5π/4

    卡住了？展开这一段的讲解

    两个角不在同一象限时，要先把它们各自的象限定下来。

  4. 4第 10 段例题

    • tan(α+β) = −1

    • 若 α+β∈(0, π) ⇒ α+β = 3π/4

    • 若 α+β∈(π, 2π) ⇒ α+β = 5π/4

    卡住了？展开这一段的讲解

    范围不同，答案就不同。这就是为什么要逐题确认范围。

③章节训练

第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

115 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 拆角方向搞反（把 β=(α+β)−α 写成 α−(α+β)）
  • 用平方关系补 sin 或 cos 时不看象限，开方取错符号
  • 由 tanθ 求角时只写一个解，漏掉相差 π 的另一个
  • 正切范围跨过 π/2 时仍用正弦、余弦定角，导致多解
  • 给值求角求出函数值后不写这一步在哪个范围，直接下结论

看完自测（3 题）

  • 已知 cos(α+β) 与 cosα，要求 cosβ，应该怎样配凑？

    看答案与理由

    答： 把 β 写成 (α+β)−α，再用两角差的余弦公式展开。

    为什么： 公式里出现的角只有 (α+β) 和 α，把它们相减正好回到待求的 β。

  • 给值求角时，为什么求出 tanθ 之后还要写 θ 的范围？

    看答案与理由

    答： 因为正切相同的角相差 π，不写范围就不能确定唯一的值。

    为什么： tan(π/4)=tan(5π/4)，只有范围才能把两个候选角筛成一个。

  • 由 cosα 的值求 sinα 时，最容易错在哪里？

    看答案与理由

    答： 忘记看 α 的象限，把开方的符号取反。

    为什么： 平方关系只给出 sin²α，正负必须由 α 所在象限判定。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。