求角时忽略角的范围导致多解或漏解

易错初稿待审

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一句话 · 给值求角要三步：先求目标角的一个三角函数值，再由已知条件推出这个角的范围，最后在范围内由函数值定出唯一的角；不算范围会多解，范围取宽也会多解，取窄则漏解。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

只知道 sinθ 的值，能不能定出 θ？

讲稿

先看一个反例。

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- α、β 为锐角，sinα = √5/5，sinβ = √10/10
- 求 α + β
卡住了？展开这一段的讲解
看一个完整的例子。两个锐角的正弦分别是五分之根号五和十分之根号十。
2第 8 段例题
- cosα = 2√5/5，cosβ = 3√10/10
- cos(α+β) = cosαcosβ − sinαsinβ
- = (2√5/5)(3√10/10) − (√5/5)(√10/10) = √2/2
卡住了？展开这一段的讲解
第一步求和的余弦。先用平方关系补出两个余弦值。
3第 9 段例题
- α、β ∈ (0, π/2) ⇒ α+β ∈ (0, π)
- cos(α+β) = √2/2 > 0 ⇒ α+β ∈ (0, π/2)
- cos 在 (0, π) 上单调 ⇒ α+β = π/4
卡住了？展开这一段的讲解
第二步定范围。两个锐角之和在零到派之间。
4第 10 段例题
- 改用正弦：sin(α+β) = √2/2
- 在 (0, π) 内 π/4 与 3π/4 都满足
- 还要再看余弦的符号才能排除 3π/4
卡住了？展开这一段的讲解
如果改用正弦值就要多一步。正弦等于二分之根号二，在零到派里有两个角。

第10章三角恒等变换 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

115 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

已知 sinθ = 1/2，θ ∈ (0, π)，θ 等于多少？
看答案与理由
答： θ = π/6 或 5π/6，有两个。
为什么： 正弦在 (0,π) 上先增后减，同一个正弦值可能对应两个角，必须靠范围来筛。
给值求角的三步是什么？
看答案与理由
答：先求目标角的一个三角函数值；再确定这个角的范围；最后由两者定出唯一的角。
为什么： 只做第一步会多解，只做第二步没有依据，三步齐了角才唯一。
为什么求角时优先算余弦值？
看答案与理由
答：因为余弦在 (0,π) 上单调递减，一个函数值只对应一个角；正弦不是一对一的。
为什么： 选对了函数，第二步的范围就不用再花力气排除候选角。

未填密钥

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