对数型函数的定义域与值域

方法初稿待审

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一句话 · 对数型函数 y=log_a f(x) 的定义域由 f(x)>0 决定；值域要先求出内层 f(x) 的取值范围，再按底数 a>1（递增）或 0<a<1（递减）映射过去。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

y = log_a f(x)，a>0 且 a≠1

讲稿

对数型函数的形式是，y 等于 log 以 a 为底 f x。

6 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 6 段例题
- 例：y = log₂(x²−2x+3)
卡住了？展开这一段的讲解
第一个例子，y 等于 log 以 2 为底，x 平方减 2x 加 3。先解决定义域。
2第 7 段例题
- x²−2x+3 = (x−1)²+2 > 0
- 定义域：R
卡住了？展开这一段的讲解
把内层配方得，x 减 1 的平方加 2。它恒大于零，所以定义域是全体实数。
3第 8 段例题
- 内层最小 2
- log₂2 = 1
- 值域：[1,+∞)
卡住了？展开这一段的讲解
内层最小值是 2。底数 2 大于一，函数递增，所以值域从 log 以 2 为底 2 起。
4第 9 段例题
- y = log_½(x²−4x+5)
卡住了？展开这一段的讲解
再看底数在零与一之间的情形。y 等于 log 以二分之一为底，x 平方减 4x 加 5。
5第 10 段例题
- x²−4x+5 = (x−2)²+1 ≥ 1
- 定义域：R
卡住了？展开这一段的讲解
内层配方是 x 减 2 的平方加 1，最小值是 1，定义域仍是全体实数。
6第 11 段例题
- log_½1 = 0
- 递减 ⇒ 值域 (−∞,0]
卡住了？展开这一段的讲解
底数二分之一小于一，函数递减。内层越小，对数值越大，所以值域是负无穷到零。

第6章幂函数、指数函数和对数函数 · 限时综合卷

题量

17 题

总分

100 分

限时

65 分钟

覆盖知识点

17 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

y=log_2(x²−2x+3) 的定义域是什么？
看答案与理由
答：全体实数 R。
为什么： 配方得 (x−1)²+2>0 对一切 x 成立，真数恒大于零。
同一个函数的值域是什么？
看答案与理由
答： [1,+∞)。
为什么： 内层最小值 2，底数 2>1 递增，故最小值是 log₂2=1。
内层最小值变成 1、底数换成 0.5 时，值域怎么变？
看答案与理由
答： (−∞,0]。
为什么： log_½1=0，而底数小于一时函数递减，内层越大对数值越小。

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