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指数型函数的定义域与值域

方法初稿待审

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一句话 · 指数型函数 y=a^(f(x)) 的定义域由 f(x) 决定；值域要先求 f(x) 的范围，再用指数函数的单调性映射过去，并注意 a^x>0 恒成立。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 2 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

y=2^(x²−2x) 的定义域与值域

讲稿

函数 y 等于 2 的 x 平方减 2x 次方。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 7 段例题

    • 内层 t=x²−2x，定义域是 R

    卡住了？展开这一段的讲解

    例 1：求 y 等于 2 的 x 平方减 2x 次方的定义域与值域。

  2. 2第 8 段例题

    • t=x²−2x=(x−1)²−1

    • ⇒ t ≥ −1，x=1 时取到

    卡住了？展开这一段的讲解

    配方得 t 等于 x 减 1 的平方再减 1，所以 t 最小是负 1。

  3. 3第 9 段例题

    • a=2>1 ⇒ y=2^t 递增

    • t≥−1 ⇒ 2^t ≥ 2^(−1)=1/2

    卡住了？展开这一段的讲解

    底数 2 大于 1，所以 y 随 t 增大而增大。t 最小时 y 也最小。

  4. 4第 10 段例题

    • 值域 [1/2, +∞)

    • x=1 时取到最小值 1/2

    卡住了？展开这一段的讲解

    所以值域是二分之一到正无穷，最小值取得到，左端写闭。

③章节训练

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 · 限时综合卷

题量

17 题

总分

100 分

限时

65 分钟

覆盖知识点

17 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 把内层的取值范围直接当成函数的值域
  • 求值域时忘记 a^x>0，把 0 写进值域
  • 端点取不取到不判断，闭区间与开区间写错
  • 忽略内层 f(x) 自身的定义域限制，直接把 x 取遍实数

看完自测（3 题）

  • 指数型函数的定义域由谁决定？

    看答案与理由

    答： 由指数上的式子 f(x) 决定，去掉外层指数函数不影响定义域。

    为什么： 指数函数 y=a^x 对一切实数都有定义，限制只可能来自内层。

  • 求值域的第一步是什么？

    看答案与理由

    答： 先求内层 t=f(x) 的取值范围。

    为什么： 外层只是把 t 的范围按单调性映射过去。

  • 为什么指数型函数的值域里一定没有 0？

    看答案与理由

    答： 因为 a^x>0 对一切实数 x 恒成立。

    为什么： 指数幂的值恒为正，只能无限接近 0，取不到 0。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。