易错：A⊆B 时漏掉 A=∅ 的情形；补集忘记全集是谁

易错初稿待审

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一句话 · 由 A⊆B 求参数必须先单独讨论 A=∅；求补集必须先写清全集是谁——两者都是「少想一种情况」。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 14第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

本节只做两件事：看两个「少想一种情况」的错误

讲稿

这一节还是只做一件事：把两个高频错误摆出来。

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- 情形一 A=∅：m+1>2m−1 ⇒ m<2
卡住了？展开这一段的讲解
完整解一遍。**情形一：A=∅**，即 `m+1 > 2m−1`，解得 `m < 2`。此时 A⊆B 成立。
2第 9 段例题
- 情形二 A≠∅：m ≥ 2，列不等式组
卡住了？展开这一段的讲解
**情形二：A≠∅**，即 `m ≥ 2`。此时 A 非空，要 A⊆B 就必须整个区间落在 B 内，列不等式组。
3第 10 段例题
- m+1 ≥ −2 ⇒ m ≥ −3
- 2m−1 ≤ 5 ⇒ m ≤ 3
- 结合 m ≥ 2 ⇒ 2 ≤ m ≤ 3
卡住了？展开这一段的讲解
关键一步：列组要同时满足两端，且端点等号可取而取到。`m+1 ≥ −2`、`2m−1 ≤ 5`、`m ≥ 2`，解得 `2 ≤ m ≤ 3`。
4第 11 段例题
- 合并：m<2 或 2≤m≤3 ⇒ m ≤ 3
卡住了？展开这一段的讲解
合并两种情形：`m < 2` 或 `2 ≤ m ≤ 3`，即 `m ≤ 3`。**若漏掉情形一，答案就少了一大截**。

第1章集合 · 限时综合卷

题量

19 题

总分

115 分

限时

85 分钟

覆盖知识点

19 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

若 A={x | m+1 ≤ x ≤ 2m−1} 且 A⊆B，为什么要先讨论 A=∅？
看答案与理由
答：因为空集是任何集合的子集，A=∅ 时 A⊆B 自动成立。
为什么： 子集关系天然包含空集这一情形，漏掉就会少一整段解。
全集换成 R 后，A={1,3,5} 的补集变了吗？
看答案与理由
答：变了。补集必须相对于全集来说，∁ᵤA 随 U 改变。
为什么： 定义里 U 是不可缺的一部分。
A=∅ 的代数条件是什么（A={x | m+1 ≤ x ≤ 2m−1}）？
看答案与理由
答： m+1 > 2m−1，即 m < 2。左端点大于右端点时区间为空。
为什么： 这是把「是空集」翻译成不等式的方式。

未填密钥

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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