集合相等的判定：互相包含

概念初稿待审

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一句话 · 证明两个集合相等，就看它们是否互相包含：A⊆B 且 B⊆A，两个方向都成立才有 A=B。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

A={1,2,3}，B={3,2,1}

讲稿

A={1,2,3} 与 B={3,2,1} 相等吗？

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- A={x | x²=1}，B={−1,1}
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：判断 A={x|x²=1} 与 B={−1,1} 是否相等。
2第 9 段例题
- x²=1 ⇒ x=1 或 x=−1
- ⇒ A⊆B
卡住了？展开这一段的讲解
思路：两个方向都证。x²=1 的实数根只有 1 和 −1，所以 A⊆B。
3第 10 段例题
- 1²=1，(−1)²=1 ⇒ B⊆A
- A⊆B 且 B⊆A ⇒ A=B
卡住了？展开这一段的讲解
反过来，1 与 −1 都满足 x²=1，所以 B⊆A。两个方向都成立，A=B。
4第 11 段例题
- B：x=2k+2=2(k+1)
- 令 k=m−1 ⇒ x=2m
- 与 A 的条件相同 ⇒ A=B
卡住了？展开这一段的讲解
例 2：A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=2k+2,k∈Z}。在 B 中令 k=m−1，条件变成 x=2m，与 A 一样。

第1章集合 · 限时综合卷

题量

19 题

总分

115 分

限时

85 分钟

覆盖知识点

19 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

要证明 A=B，标准写法是什么？
看答案与理由
答：写两个方向：任取 x∈A 推出 x∈B，得 A⊆B；再任取 x∈B 推出 x∈A，得 B⊆A。两者都成立，所以 A=B。
为什么： 互相包含把「元素完全一样」这件事拆成了两个可以分别验证的方向。
A={1,2}⊆B={1,2,3}，能否由此断定 A=B？
看答案与理由
答：不能。还需要 B⊆A，而 3∈B 但 3∉A，所以 B⊄A，两个集合不相等。
为什么： 子集只保证单向包含，相等必须两个方向都成立。
{x|x=2k,k∈Z} 与 {x|x=2k+2,k∈Z} 相等吗？
看答案与理由
答：相等。x=2k+2=2(k+1)，令 m=k+1，k 取遍整数时 m 也取遍整数，条件变成 x=2m，与前者一致。
为什么： 写法不同的两个描述法集合，可以靠换元化归成同一个条件来判断相等。

未填密钥

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这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

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