含n个元素的集合有2ⁿ个子集、2ⁿ−1个真子集
公式初稿待审bx1-c1-s2-k4
一句话 · 含 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集；真子集与非空子集各 2ⁿ−1 个，非空真子集 2ⁿ−2 个。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
问题：{1,2} 有几个子集？
先数一数：由 1 和 2 组成的集合，一共有几个子集？
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
n = 3 → 2³ = 8 个子集
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：写出集合由 a、b、c 组成的全部子集，并数一数。
- 2第 8 段例题
∅
{a}、{b}、{c}
{a,b}、{a,c}、{b,c}
{a,b,c}
1 + 3 + 3 + 1 = 8
卡住了？展开这一段的讲解
按元素个数分类写：零个、一个、两个、三个，依次是 1、3、3、1 个。
- 3第 9 段例题
2ⁿ − 1 = 7
2ⁿ = 8 → n = 3
卡住了？展开这一段的讲解
例 2：某集合有 7 个真子集，它有几个元素？
- 4第 10 段例题
1、2 必须选；3、4 各可选可不选
2² = 4 个
卡住了？展开这一段的讲解
例 3：M 必须含 1 和 2，元素又只能从 1 到 4 里取。这样的 M 有几个？
③章节训练
第1章 集合 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把 2ⁿ 当成真子集个数（漏掉「不含自身」）
- 忘记空集也是子集，导致非空类别的个数算错
- 四个名字混用，不看题目究竟要哪一类
- 含参区间里忽略空集这一种特殊情况
看完自测（3 题）
含 3 个元素的集合有几个子集？几个真子集？
看答案与理由
答： 8 个子集，7 个真子集。
为什么： 子集 2³=8，去掉自身后真子集 2³−1=7。
含 4 个元素的集合有几个非空真子集？
看答案与理由
答： 14 个。
为什么： 子集 16 个，去掉空集和自身两个，16−2=14。
集合 {1,2} 的子集里包含哪些「特殊成员」？
看答案与理由
答： 空集与 {1,2} 本身。
为什么： 空集是任何集合的子集，集合也是它自己的子集；它们不算真子集。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。