由子集关系求参数范围（含参集合要单独讨论空集）

方法初稿待审

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一句话 · 由 A⊆B 求参数必须分两支：先讨论 A=∅（自动满足），再讨论 A≠∅ 列端点不等式组，最后取并集并检验端点。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

问题：A⊆B 求参数，漏掉的是什么？

讲稿

由包含关系求参数范围，丢分点往往不在计算，而在少讨论了一种情况。

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- A = {x | m+1 ≤ x ≤ 2m−1}
- B = {x | −2 ≤ x ≤ 5}
- 求：A⊆B 时 m 的范围
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：已知 A 由参数给出，B 是从负二到五的闭区间。若 A 包含于 B，求参数范围。
2第 8 段例题
- A = ∅ ⟺ m+1 > 2m−1
- 解得 m < 2
- 此时 A⊆B 自动成立，全部保留
卡住了？展开这一段的讲解
第一支：让 A 变成空集，也就是左端大于右端，解出参数小于 2。
3第 9 段例题
- A ≠ ∅ ⟺ m ≥ 2
- 左端：m+1 ≥ −2
- 右端：2m−1 ≤ 5
- 合并得 2 ≤ m ≤ 3
卡住了？展开这一段的讲解
第二支：A 非空。这时 A 的两端都要落在 B 里，于是列不等式组。
4第 10 段例题
- m < 2 或 2 ≤ m ≤ 3
- 即 m ≤ 3
卡住了？展开这一段的讲解
两支取并集：参数小于 2，或者介于 2 与 3 之间。合起来就是不超过 3。

第1章集合 · 限时综合卷

题量

19 题

总分

115 分

限时

85 分钟

覆盖知识点

19 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

A={x | m+1 ≤ x ≤ 2m−1} 什么时候是空集？
看答案与理由
答：当 m+1 > 2m−1，即 m < 2 时。
为什么： 左端大于右端时，没有任何实数能同时满足两个不等式。
为什么 A=∅ 时 A⊆B 一定成立？
看答案与理由
答：因为空集是任何集合的子集。
为什么： A⊆B 要求 A 中每个元素都在 B 中，空集没有元素，检验无从失败。
若 A={x | m+1 ≤ x ≤ 2m−1}⊆{x | −2 ≤ x ≤ 5}，m=3 行不行？
看答案与理由
答：行。此时 A={x | 4 ≤ x ≤ 5}，仍落在 B 中。
为什么： 2m−1=5 时右端点与 B 的右端重合，等号可以取。

未填密钥

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这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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