向量的夹角与垂直
概念初稿待审bx2-c9-s1-k3
一句话 · 两向量平移到同一起点后所成的角叫夹角，范围 0° 到 180°；夹角 90° 时称两向量垂直；零向量的夹角不确定。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
向量之间也能谈角度
两个向量的方向不同，它们之间能形成角度吗？
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
例 1 正三角形 ABC
卡住了？展开这一段的讲解
例一：在正三角形 ABC 中求夹角。求向量 AB 与向量 BC 的夹角。
- 2第 8 段例题
平移起点，从同一点看方向
卡住了？展开这一段的讲解
先把两个向量的起点平移到同一点，再看它们张开的角。
- 3第 9 段例题
AB 与 BC 的夹角为 120°
60° 是 BA 与 BC 的夹角
卡住了？展开这一段的讲解
AB 与 BC 的夹角是一百二十度，不是六十度。要看清楚箭头从哪到哪。
- 4第 10 段例题
例 2 三种特殊夹角
卡住了？展开这一段的讲解
例二：夹角为零度、九十度、一百八十度时，两向量分别是什么关系？
③章节训练
第9章 平面向量 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把向量的夹角当成直线夹角，只取锐角
- 误以为夹角最大是 90°
- 给零向量的夹角指定一个具体度数
- 把 60° 与 120° 弄混（没看清箭头的起终点）
看完自测（3 题）
两个向量的夹角是怎么定义的？
看答案与理由
答： 把它们的起点平移到同一点，所成的角就是夹角。
为什么： 起点不同，方向没法直接比较。
向量夹角的取值范围是什么？
看答案与理由
答： 0° 到 180°，两个端点都能取到。
为什么： 同向时是 0°，反向时是 180°。
什么情况下说两个向量垂直？
看答案与理由
答： 它们的夹角为 90° 时。
为什么： 垂直就是夹角取 90° 这个特殊情形。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。