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方差与标准差的计算及其统计意义

公式初稿待审

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一句话 · 方差是各数据与平均数偏差平方的平均数，标准差是它的算术平方根；方差是平方量纲，标准差与原数据同量纲，两者都用来刻画数据的离散程度，越大表示波动越大。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 2 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

平均数只说「中心在哪」，不说「散不散」

同样平均数的两组数据，波动可以差很多

讲稿

两组数据的平均数可能一样，但一组挤在一起，一组拉得很开。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 7 段例题

    • 甲：6,8,10,12,14，n=5，平均数 x̄ = 10

    • 偏差：−4，−2，0，2，4

    • 平方和 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

    • 方差 = 40÷5 = 8

    • 标准差 = √8 = 2√2 ≈ 2.83

    卡住了？展开这一段的讲解

    甲组是 6、8、10、12、14。平均数是 10，偏差是负四、负二、零、二、四。平方后相加得 40，方差是 8，标准差约 2.83。

  2. 2第 8 段例题

    • 乙：9,9,10,11,11，n=5，平均数 x̄ = 10

    • 偏差：−1，−1，0，1，1

    • 平方和 = 1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4

    • 方差 = 4÷5 = 0.8，标准差 = √0.8 ≈ 0.89

    • 答：平均数都是 10，但乙组更集中

    卡住了？展开这一段的讲解

    乙组是 9、9、10、11、11，平均数也是 10。偏差平方和只有 4，方差 0.8，标准差约 0.89。两组平均数相同，乙组更集中。

  3. 3第 9 段例题

    • 身高：160,165,170,175,180，单位 cm，x̄ = 170

    • 偏差：−10，−5，0，5，10

    • 平方和 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250

    • 方差 = 250÷5 = 50（cm²）

    • 标准差 = √50 = 5√2 ≈ 7.07（cm）

    卡住了？展开这一段的讲解

    五名同学的身高是 160 到 180 厘米，每次增加 5。方差是 50 平方厘米，标准差约 7.07 厘米。单位不同，读法也不同。

  4. 4第 10 段例题

    • 甲组每个数据 +100：106,108,110,112,114

    • 偏差仍是 −4，−2，0，2，4 ⇒ 方差仍为 8

    • 甲组每个数据 ×2：12,16,20,24,28

    • 平方和 = 64 + 16 + 0 + 16 + 64 = 160

    • 方差 = 160÷5 = 32 = 4×8，标准差 = √32 = 2√8

    卡住了？展开这一段的讲解

    把所有数据都加 100，方差和标准差都不变。都乘 2，方差就变成 4 倍，标准差变成 2 倍。

③章节训练

第14章 统计 · 限时综合卷

题量

17 题

总分

110 分

限时

60 分钟

覆盖知识点

17 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 算方差时只求到偏差平方和就停手，忘记除以数据个数
  • 把方差直接当成标准差写进结论（两者相差一次开平方，单位也不同）
  • 把偏差直接相加，正负抵消后误以为波动为 0
  • 数据单位是 cm 时把方差单位写成 cm，混淆了平方量纲与同量纲
  • 比较两组数据的波动大小时，一组用方差、另一组用标准差

看完自测（3 题）

  • 为什么要把偏差平方，而不是直接把偏差相加？

    看答案与理由

    答： 偏差有正有负，直接相加会正好抵消，任何一组数据算出来都接近 0，无法反映波动。平方后所有项都非负，才能真正度量「离平均数有多远」。

    为什么： 这就是方差要平方的原因，也解释了为什么「偏差之和」不能用来刻画离散程度。

  • 既然方差和标准差都能刻画离散程度，为什么还要标准差？

    看答案与理由

    答： 因为方差是平方量纲：数据单位是 cm 时方差单位是 cm²，与原始数据不能直接比较，也不便解释；标准差是方差开平方，单位仍是 cm，与原数据同量纲，读起来更直观。

    为什么： 两个量的单调关系相同，选哪个只看「要不要保留原来的量纲」。

  • 一组数据的方差是 0，说明了什么？

    看答案与理由

    答： 说明每个数据与平均数的偏差都是 0，也就是所有数据都相等。反过来，数据全相等时方差也一定是 0。

    为什么： 由方差定义（偏差平方的平均数）可以立即得到：平方和要为 0，每一项都必须为 0。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。