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百分位数与四分位数的计算

公式初稿待审

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一句话 · 百分位数刻画数据的位置：先排序，再算 n×p%，i 为整数时取第 i、i+1 项的平均，否则取大于 i 的最小整数位那一项；四分位数 Q₁、Q₂、Q₃ 就是 25%、50%、75% 百分位数。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 2 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

平均数只说整体水平，不说「排在哪儿」

百分位数回答：至少 p% 的数据不超过哪个值

讲稿

考试后老师只报了个平均分，这够用吗？

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 7 段例题

    • 数据（已排序）：3 5 6 8 9 11 13 14 16 20，n=10

    • Q₁：10×25% = 2.5 → 取第 3 项 ⇒ Q₁ = 6

    • Q₂：10×50% = 5 → 第 5、6 项平均 (9+11)/2 = 10

    • Q₃：10×75% = 7.5 → 取第 8 项 ⇒ Q₃ = 14

    • 答：Q₁ = 6，Q₂ = 10，Q₃ = 14

    卡住了？展开这一段的讲解

    十个数据已经排好。25% 得 2.5，不是整数，取第 3 项。50% 得 5，是整数，取第 5、6 项的平均。

  2. 2第 8 段例题

    • 同一组数据，n=10

    • 第 90 百分位数：10×90% = 9 → (16+20)/2 = 18

    • 第 30 百分位数：10×30% = 3 → (6+8)/2 = 7

    • 第 43 百分位数：10×43% = 4.3 → 取第 5 项 ⇒ 9

    • 答：分别为 18、7、9

    卡住了？展开这一段的讲解

    再算第 90 百分位数。10 乘 90% 得 9，是整数，取第 9、10 项平均。

  3. 3第 9 段例题

    • 数据：2 4 4 5 7 9 10 12 15，n=9

    • Q₁：9×25% = 2.25 → 取第 3 项 ⇒ 4

    • Q₂：9×50% = 4.5 → 取第 5 项 ⇒ 7

    • Q₃：9×75% = 6.75 → 取第 7 项 ⇒ 10

    • 答：Q₁ = 4，Q₂ = 7，Q₃ = 10

    卡住了？展开这一段的讲解

    换成 9 个数。n 乘 p% 大多不是整数，这时直接取大于它的最小整数位。

  4. 4第 10 段例题

    • 题：某班 40 人百米成绩，Q₁ = 15 秒，Q₃ = 17 秒

    • 含义一：至少 25% 的同学成绩 ≤ 15 秒

    • 含义二：至少 25% 的同学成绩 ≥ 17 秒

    • 含义三：中间约一半人的成绩落在 15 秒到 17 秒之间

    • 答：Q₁、Q₃ 描述位置，不描述平均水平

    卡住了？展开这一段的讲解

    四分位数说的是位置，不是平均水平。它告诉我们，至少有四分之一的数据落在哪里。

③章节训练

第14章 统计 · 限时综合卷

题量

17 题

总分

110 分

限时

60 分钟

覆盖知识点

17 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • n×p% 算得整数时忘记取相邻两项的平均数，直接把第 i 项当答案
  • 不先从小到大排序就去数位置，数出来的不是百分位数
  • 把 p% 当作 0.0p 代入，例如把 25% 算成 n×0.025
  • 把「大于 i 的最小整数位」记成「小于 i 的最大整数位」
  • 以为第 p 百分位数一定等于某个原始数据，忽略了它可能是两数的平均数

看完自测（3 题）

  • 一组数据有 8 个数，求它的第 25 百分位数时，第一步要算什么？

    看答案与理由

    答： 先从小到大排序，再算 8×25% = 2，i = 2 是整数，所以第 25 百分位数是第 2 项与第 3 项的平均数。

    为什么： 取法只有两步：排序、算 i = n×p%；i 是不是整数，决定了后面取一项还是取两项的平均。

  • 为什么定义里要先说「至少有 p% 的数据不超过它」？

    看答案与理由

    答： 因为数据可能有重复值，只靠「第几项」无法说清边界；写成「至少 p% 不超过、至少 (1−p%) 不小于」，就能保证无论数据是否重复，这个位置值都讲得通。

    为什么： 这句话是百分位数的判断标准，也是教材取法为什么要分整数、非整数两种情形的原因。

  • 第 50 百分位数和中位数是同一个数吗？

    看答案与理由

    答： 是同一个数。把 p 取成 50，定义就变成「至少有 50% 的数据不超过它，至少有 50% 的数据不小于它」，这正是中位数的含义。

    为什么： 抓住 Q₂ = 第 50 百分位数 = 中位数，就能把新学的百分位数和已经熟悉的中位数接上。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。