平均数、中位数、众数的意义与各自优劣
公式初稿待审bx2-c14-s4-k2
一句话 · 平均数用到全部数据但最怕极端值，中位数稳健却丢掉了大小信息，众数看出现次数但可能不唯一；选哪一个，取决于数据里有没有极端值、以及要回答的是什么问题。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
描述集中趋势的量有三个
平均数、中位数、众数
同一组数据，平均值、中间值、最常见的值常常不相等。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
数据：2 3 3 5 7 8 12，n=7
平均数 = (2+3+3+5+7+8+12)/7 = 40/7 ≈ 5.71
中位数：排序后取第 4 项 ⇒ 5
众数：3 出现 2 次，其余各 1 次 ⇒ 3
答：平均数约 5.71，中位数 5，众数 3
卡住了？展开这一段的讲解
先看一组数据：2、3、3、5、7、8、12。平均数是 40 除以 7，约等于 5.71。中位数是 5，众数是 3。
- 2第 8 段例题
数据：2 3 3 5 7 8 40
平均数 = (2+3+3+5+7+8+40)/7 = 68/7 ≈ 9.71（变大）
中位数：第 4 项仍然是 5（不变）
众数：仍然是 3（不变）
答：一个极端值只把平均数拉偏
卡住了？展开这一段的讲解
把 12 换成 40，再算一遍。平均数从 5.71 涨到 9.71，中位数和众数却没动。
- 3第 9 段例题
数据：5,5,6,7,7,7，n=6
和 = 5×2 + 6×1 + 7×3 = 37
平均数 = 37/6 ≈ 6.17
中位数 = (6+7)/2 = 6.5
众数 = 7（出现 3 次）
卡住了？展开这一段的讲解
再算一组：5、5、6、7、7、7。用频数算，和是 5 乘 2 加 6 加 7 乘 3，等于 37。平均数是 37 除以 6，约 6.17。
- 4第 10 段例题
要「最常出现」的信息 ⇒ 众数（如鞋码备货）
数据含极端值 ⇒ 中位数更稳
要进一步参与计算、想用全部信息 ⇒ 平均数
答：没有哪个量永远最好，看清问题再选
卡住了？展开这一段的讲解
什么时候用哪个？要备货就看最常卖的尺码，用众数。身高数据里有人特别高时，用中位数更稳。
③章节训练
第14章 统计 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 求中位数时不先排序，直接取原序列中间的那个数
- 以为众数一定只有一个，忽略众数可以不唯一
- 以为平均数一定是这组数据中的某一个数
- 以为偶数个数据的中位数一定也是数据中的一个数
- 数据里有极端值时仍然只用平均数代表一般水平，不说明它被拉偏了
看完自测（3 题）
一组数据里有一个特别大的数，三个量中哪个受影响最大？
看答案与理由
答： 平均数受影响最大：它把每个数据都算了进去，那个大数会把平均数拉高。中位数只看排序后的位置，众数只看出现次数，一般不受影响。
为什么： 这正是「平均数用全部信息」的代价——信息用得全，也就把极端值一起算进去了。
众数出现了最多次，是不是就一定最能代表一般水平？
看答案与理由
答： 不一定。众数只说明哪个值出现得最多，它可能出现很多次却远离数据的中心；当每个值都只出现一次时，众数更没有代表性。
为什么： 「出现次数最多」与「代表一般水平」不是一回事，判断要结合数据分布与其他两个量。
求一组数据的中位数，第一步做什么？偶数个和奇数个数据的取法有什么不同？
看答案与理由
答： 第一步是把数据从小到大排序。奇数个数据取中间那一项；偶数个数据取中间两项的平均数，所以偶数个数据的中位数有可能不是数据中的某个数。
为什么： 不排序就取原序列中间的项是最常见的错误，而奇偶两种取法接的正是前面学过的百分位数取法。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。