由频率分布直方图求众数、中位数、平均数
方法初稿待审bx2-c14-s3-k2
一句话 · 在频率分布直方图上，众数取最高矩形底边中点的横坐标，中位数取把总面积平分成两半的那条竖线的横坐标，平均数用每块矩形的面积乘它的底边中点再求和；由于图上只保留了分组信息，这三个量都是近似值。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
直方图刻画整体分布
还能用三个量概括这组数据
众数、中位数、平均数各有读法
读法的共同基础：小矩形的面积才是频率
直方图不只能看形状，还能读出三个代表值：众数、中位数、平均数。
②例题实操
2 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
100 名学生身高，组距 10，各组频率 0.05、0.15、0.20、0.40、0.12、0.08
众数 = 最高矩形底边中点 = (170+180) ÷ 2 = 175
累加面积：0.05 → 0.20 → 0.40 → 0.80
0.5 落在第四组：(0.5 − 0.40) ÷ 0.40 = 0.25
中位数 = 170 + 10 × 0.25 = 172.5
平均数 = 0.05×145 + 0.15×155 + 0.20×165 + 0.40×175 + 0.12×185 + 0.08×195 = 171.3
卡住了？展开这一段的讲解
看这张直方图：最高的矩形是第四组，底边中点是 175。中位数要平分面积，先累加面积。
- 2第 9 段例题
各组面积：0.05、0.15、0.30、0.35、0.10、0.05，组距 10
累加：0.05 → 0.20 → 0.50
0.50 恰好落在第三组右端 170 处
中位数 = 170，不必再插值
对照：平均数 169.5，众数 175
卡住了？展开这一段的讲解
前两组的面积是 0.05 和 0.15，第三组是 0.30。三组累加到 0.50，正好落在第三组右端。
③章节训练
第14章 统计 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把众数读成最高矩形的左端点或右端点，而不是底边中点
- 求中位数时不做组内插值，直接把某一组的端点当成中位数
- 求平均数时把各组的底边中点简单平均，忘记按各组面积（频率）加权
- 忘记纵轴是频率除以组距，把小矩形的高当频率去算三个量
- 以为直方图上读出的众数、中位数、平均数是精确值，忽略分组已经损失了组内信息
看完自测（3 题）
为什么在频率分布直方图上只能估计众数、中位数、平均数？
看答案与理由
答： 因为画直方图之前先分了组，图上只保留了每组的频率，组内每个数据的具体取值已经看不到。众数、中位数、平均数都要用到具体数值，所以只能按「同一组内的数据集中在底边中点」这一约定来估计，得到的是近似值。
为什么： 把「分组」这一步造成的损失想清楚，才能理解为什么教材说这三个量是估计值，也才不会在组内取值上纠缠。
怎样在直方图上确定中位数的估计值？
看答案与理由
答： 先按顺序累加各小矩形的面积，找到面积恰好达到 0.5 的位置：若这个位置正好在某组的分界处，该处横坐标就是中位数；若落在某一组内部，就用「还差多少面积」占该组面积的比例，在这一组的宽度内按比例定位。
为什么： 中位数的作用是把数据平分，而直方图上面积就是频率，所以「平分数据」就是「平分面积」，累加面积是这一步的核心动作。
用直方图求平均数时，为什么必须用面积（频率）加权？
看答案与理由
答： 因为每一组里的数据个数不同，这一组对平均数的影响大小由它的频率决定。把每块矩形的面积（即该组频率）乘上该组的底边中点，再全部相加，才是按比重加权的平均；把各组的底边中点直接平均，等于默认各组人数一样多，与直方图不符。
为什么： 平均数 = 各块面积 × 底边中点之和，本质上是加权平均；忽略权重正是这一节最常见的计算错误。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 11
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。