分层抽样时按比例分配算错（忽略各层人数）
易错初稿待审bx2-c14-s2-k4
一句话 · 按比例分配 n_i = n × N_i/N，取整后名额之和必须等于 n；估计总体平均数时权重永远是各层个体数占总体个体数的比，非按比例时不能用样本量占比。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
分层随机抽样：层内差异小、层间差异大
名额怎么分，决定样本结构像不像总体
分层抽样的名额怎么分，最容易出错。
②例题实操
2 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 9 段例题
甲 300、乙 250、丙 200，三层共 N = 750
抽样比 = 50/750 = 1/15
甲 300 × 1/15 = 20
乙 250 × 1/15 ≈ 16.7，丙 200 × 1/15 ≈ 13.3
取整：20、17、13，且 20 + 17 + 13 = 50
卡住了？展开这一段的讲解
三层共七百五十人，要抽五十人，抽样比是十五分之一。算出来是二十、十六点七、十三点三。取整后二十、十七、十三，合计正好五十。
- 2第 10 段例题
甲层 900 人抽 15 人，x̄₁ = 84
乙层 300 人抽 45 人，x̄₂ = 72
人数占比：900/1200 = 0.75，300/1200 = 0.25
估计值 = 0.75 × 84 + 0.25 × 72 = 63 + 18 = 81
误用样本量占比：0.25 × 84 + 0.75 × 72 = 75（错）
答：非按比例分配时，估计值是 81
卡住了？展开这一段的讲解
这次名额不成比例：甲层九百人只抽十五人，乙层三百人抽四十五人。人数占比是零点七五和零点二五，估计值是八十一。
③章节训练
第14章 统计 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把比写反，用 n × N/N_i 算名额，人少的层反而分到更多名额
- 各层平均分配名额，忽略各层人数的差别
- 按比例算出小数名额后取整不当，各层名额之和不等于要抽的总数
- 非按比例分配时仍用样本量占比作权重，算出的总体平均数估计值偏了
- 以为分层随机抽样必须按比例分配名额，把非按比例分配判成不合法的做法
看完自测（3 题）
按比例算出各层名额是小数时，怎么处理才对？
看答案与理由
答： 先各自取整数（通常四舍五入），再调整，使各层名额之和恰好等于要抽的总数 n。例如三层按比例算得 20、16.7、13.3，取整为 20、17、13，合计正好 50。
为什么： 各层名额是「人数」，必须是整数；而抽样时要抽够 n 个，所以取整后合计必须对得上，这两条缺一不可。
什么时候可以用样本量占比作权重，什么时候绝对不行？
看答案与理由
答： 只有按比例分配时才可以，因为此时 n₁/n = N₁/N，样本量占比恰好等于人数占比；一旦不是按比例分配，两个占比就不相等，必须用人数占比（权重是各层个体数占总体个体数的比）。
为什么： 权重的依据是各层在总体中的分量，样本量是人为安排的，人为安排的比例不能替代总体的结构。
某单位分层抽样时没有按比例分配名额，这样得到的样本还能用来估计总体平均数吗？
看答案与理由
答： 能。分层随机抽样并不要求各层名额严格成比例，非按比例分配也是合法的抽样方式；只要估计时把权重换回各层个体数占总体个体数的比，仍然可以得到总体平均数的估计值。
为什么： 把「按比例分配」当成唯一合法做法是过度推广；真正不能变的是加权的口径。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。