用样本平均数估计总体平均数（分层抽样的加权平均）

方法初稿待审

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一句话 · 分层抽样下总体平均数的估计值是各层样本平均数的加权平均，权重是各层个体数占总体个体数的比；按比例分配时它恰好等于样本量占比。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

分层随机抽样的实施与样本量的分配

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

分层随机抽样抽完后，每一层各有一个样本平均数

甲层的样本平均数记作 x̄₁，乙层记作 x̄₂

问题：怎样由它们估计总体平均数

直接把两个数平均一下行不行

讲稿

分层抽完以后，每一层都能算出一个样本平均数。

②例题实操

5 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 6 段例题
- 男生 N₁ = 600，x̄₁ = 173（cm）
- 女生 N₂ = 400，x̄₂ = 163（cm）
- N = 600 + 400 = 1000
- x̄ = 0.6 × 173 + 0.4 × 163
- = 103.8 + 65.2 = 169（cm）
- 答：全年级平均身高的估计值是 169 cm
卡住了？展开这一段的讲解
男生六百人，样本平均身高一百七十三。
2第 7 段例题
- 算术平均：(173 + 163) ÷ 2 = 168（cm）
- 加权平均：0.6 × 173 + 0.4 × 163 = 169（cm）
- 两者相差 1 cm
- 原因：男生人数多，他们的平均身高应更有分量
- 答：不能直接算术平均
卡住了？展开这一段的讲解
如果直接算两个数的平均，会得到一百六十八。
3第 8 段例题
- N₁ = 800，x̄₁ = 90；N₂ = 200，x̄₂ = 80
- 权重：800/1000 = 0.8，200/1000 = 0.2
- x̄ = 0.8 × 90 + 0.2 × 80 = 72 + 16 = 88
- 答：估计该单位的平均数为 88
卡住了？展开这一段的讲解
甲层八百人平均九十分，乙层二百人平均八十分。
4第 9 段例题
- 两层各 500 人，x̄₁ = 172，x̄₂ = 162
- 权重各是 500/1000 = 0.5
- x̄ = 0.5 × 172 + 0.5 × 162 = 167
- 算术平均 (172 + 162) ÷ 2 = 167，结果相同
- 人数相等时两种算法碰巧一致，不能因此混用
卡住了？展开这一段的讲解
如果两层人数一样多，加权平均就等于算术平均。
5第 10 段例题
- 甲层 800 人抽 20 人，x̄₁ = 95
- 乙层 200 人抽 30 人，x̄₂ = 80
- 用人数占比加权：0.8 × 95 + 0.2 × 80 = 92
- 用样本量占比加权：0.4 × 95 + 0.6 × 80 = 86
- 两者不同 ⇒ 权重必须用人数占比
- 答：估计值是 92
卡住了？展开这一段的讲解
这次甲层抽了二十人、乙层抽了三十人，权重还能用样本量吗？

③章节训练

第14章统计 · 限时综合卷

题量

17 题

总分

110 分

限时

60 分钟

覆盖知识点

17 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

把各层样本平均数直接算术平均，等于默认两层人数相同
把样本量占比当作权重（只在按比例分配时才与人数占比相等）
权重取错，忘了它是「该层个体数 ÷ 总体个体数」
只用其中一层的样本平均数去估计总体
把权重写成层数的倒数，或者忘了权重之和应当为 1

看完自测（3 题）

分层随机抽样下，怎样由各层的样本平均数估计总体平均数？
看答案与理由
答：用加权平均：把每一层的样本平均数乘上该层个体数占总体个体数的比，再把各项相加，即 x̄ = (N₁/N)·x̄₁ + (N₂/N)·x̄₂。
为什么： 各层在总体中的分量不同，人多的层对总体平均数的影响更大，所以要用人数占比作权重，而不是简单相加。
为什么不能把各层样本平均数直接算术平均？
看答案与理由
答：算术平均相当于默认各层在总体中占同样大的分量。两层人数不同时，这样做会放大层内人数少的那一层，使估计偏离总体平均数。
为什么： 算术平均只在各层人数相等时才与加权平均一致；人数不等时两者结果不同，本题组的 168 与 169 就是一例。
按比例分配时，权重用人数占比和用样本量占比有区别吗？
看答案与理由
答：没有区别。按比例分配时 n_i/n = N_i/N，两个占比相等，算出来的结果相同。但如果不是按比例分配，两者一般不相等，这时必须用人数占比 N_i/N。
为什么： 权重反映的是「这一层在总体里占多大分量」，样本量抽多抽少不改变这一层在总体中的实际分量，所以人数占比才是定义中的权重。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。