多面体的表面积（侧面积 + 底面积）
公式初稿待审bx2-c13-s3-k1
一句话 · 表面积是各面面积之和，侧面积只算侧面；直棱柱侧面积是底面周长乘侧棱长，正棱锥侧面积是底面周长与斜高乘积的一半。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
表面积：围成几何体的各个面的面积之和
多面体的每个面都是平面多边形
所以表面积就是各面面积相加
例：正方体棱长为 a 时，表面积是 6a²
做一个纸盒要用多少纸板，就是求它的表面积。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
长方体长 3、宽 4、高 5
表面积 = 2×(3×4 + 3×5 + 4×5)
= 2×(12 + 15 + 20) = 94
答：表面积 94
卡住了？展开这一段的讲解
先算一个长方体：长、宽、高分别是三、四、五。
- 2第 9 段例题
底面两直角边 3、4 ⇒ 斜边 5
底面周长 c = 3 + 4 + 5 = 12
侧面积 = 12×4 = 48
底面积 = (1/2)×3×4 = 6
表面积 = 48 + 2×6 = 60
卡住了？展开这一段的讲解
再看直三棱柱：底面是两条直角边为三和四的直角三角形。
- 3第 10 段例题
正四棱锥底面边长 2，斜高 3
底面周长 c = 4×2 = 8
侧面积 = (1/2)×8×3 = 12
底面积 = 2×2 = 4
表面积 = 12 + 4 = 16
卡住了？展开这一段的讲解
正四棱锥：底面边长二，斜高三，先求侧面积。
- 4第 11 段例题
正四棱台上底边 2、下底边 4、斜高 3
上底周长 8，下底周长 16
侧面积 = (1/2)×(8 + 16)×3 = 36
两个底面积 = 4 + 16 = 20
表面积 = 36 + 20 = 56
卡住了？展开这一段的讲解
正四棱台要用上、下两个底面的周长和斜高。
③章节训练
第13章 立体几何初步 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把侧面积当成表面积，漏掉底面（棱锥要加 1 个底面，棱柱要加 2 个，棱台要加上、下两个）
- 把正棱锥的斜高当成侧棱长，导致侧面积算错
- 以为棱锥也有两个底面，或者棱台的两个底面全等
- 求正棱台侧面积时只用一个底面的周长，忘了上、下底周长都要用
- 把表面积与体积的公式混用，或者把展开图当成几何体本身
看完自测（3 题）
多面体的表面积和侧面积有什么不同？
看答案与理由
答： 表面积是围成多面体的所有面的面积之和；侧面积只算各个侧面，不含底面。所以表面积 = 侧面积 + 各底面的面积。
为什么： 两个概念只差底面这一项，但题目问「用多少纸板」时通常指表面积，问「侧面用料」才是侧面积，混淆就直接算错。
直棱柱的侧面积怎么算？为什么可以这样算？
看答案与理由
答： 侧面积等于底面周长乘侧棱长。因为把侧面沿一条侧棱剪开展平后，得到的是一个矩形，它的宽是底面各边长度之和（底面周长），高是侧棱长。
为什么： 展开图把「求几个侧面面积之和」变成了「求一个矩形面积」，这是求多面体表面积最通用的想法。
正棱锥的侧面积公式里，h′ 指的是什么？它和侧棱一样吗？
看答案与理由
答： h′ 是斜高，即侧面等腰三角形底边上的高，也就是从顶点到底面一条边中点的连线。侧棱是从顶点到底面顶点的连线，两者一般不相等。
为什么： 正棱锥里侧棱是直角三角形的斜边，斜高是直角边，所以侧棱比斜高大。把斜高当侧棱代入公式，侧面积就会算错。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
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- 未经教师人工审核
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- 13
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