组合体的表面积与体积（割补法、等体积法）
方法初稿待审bx2-c13-s3-k4
一句话 · 组合体的体积可以割开相加、也可以补全再减；表面积只算外表面，接触面必须扣除；同一个几何体用两种底各算一次体积，就是等体积法。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
组合体：由几个基本几何体拼成或挖成的几何体
基本体：柱体、锥体、台体、球
两条常用思路：割补法、等体积法
先看清它由哪些基本体、怎样拼成
实际问题里的几何体常常是几种基本体拼起来的。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
圆柱 r = 1，h = 4，中间挖去半径 1 的半球
V柱 = πr²h = π×1×4 = 4π
V半球 = (1/2)×(4/3)πr³ = (1/2)×(4/3)π = (2/3)π
V = 4π − (2/3)π = (10/3)π
答：体积 (10/3)π
卡住了？展开这一段的讲解
圆柱半径一、高四，上面挖去一个半径一的半球。
- 2第 8 段例题
大圆锥 r = 3，h = 6：V = (1/3)π×9×6 = 18π
小圆锥 r = 1，h = 2：V = (1/3)π×1×2 = (2/3)π
V = 18π − (2/3)π = (52/3)π
也可看作上底半径 1、下底半径 3、高 4 的圆台
答：体积 (52/3)π
卡住了？展开这一段的讲解
大圆锥半径三、高六，从中挖去半径一、高二的同形小圆锥。
- 3第 9 段例题
组合体 = 半球 + 圆柱
不包括的：圆柱的上底面（与半球贴合）
外侧半球面 = (1/2)×4πr² = 2π
圆柱底面 = πr² = π，侧面 = 2πrh = 6π
S = 2π + π + 6π = 9π
答：表面积 9π
卡住了？展开这一段的讲解
圆柱半径一、高三，上面加一个同半径的半球。
- 4第 10 段例题
直角三角形直角边 3、4，斜边 5
底面顶角处的高为 3
V = (1/3)×(1/2)×3×4×3 = 6
换底：6 = (1/3)×(15/2)×d ⇒ d = 18 ÷ (15/2)
d = 12/5
答：距离 12/5
卡住了？展开这一段的讲解
等体积法：三棱锥换一个底面，求出点到平面的距离。
③章节训练
第13章 立体几何初步 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把各部分的表面积直接相加，接触面被算了两次
- 挖去型组合体忘了减去挖掉部分的体积
- 等体积法里两次计算用的不是同一个几何体
- 换底时把高用错（高必须垂直于所选的那个底面）
- 组合体的表面积里，把与半球（或另一个体）贴合的那个圆面也算了进去
看完自测（3 题）
为什么组合体的表面积不能把各部分的表面积直接相加？
看答案与理由
答： 因为两个基本体拼在一起时，贴合的那两个面不再暴露在外，它们不是组合体的外表面。直接相加会把接触面算两次，正确做法是先算各部分表面积之和，再减去两倍的接触面积。
为什么： 表面积的定义是「围成几何体的所有面的面积之和」，贴合面不在其中；从定义出发就能判断该加还是该减。
什么时候用割（拆开相加），什么时候用补（补全再减）？
看答案与理由
答： 能自然拆成几个可直接计算的基本体时用割，例如上面一个锥、下面一个柱拼成的体；缺少一块、补上以后才成为规则体时用补，例如不规则块补成长方体后减去补上的部分。
为什么： 判断标准是「哪种做法里每一块都能直接套公式」，而不是图形的复杂程度。
等体积法求点到平面的距离，思路是什么？
看答案与理由
答： 把同一个三棱锥用两种不同的底面各算一次体积，两次结果相等，于是已知的体积、另一个底面积就能解出对应的高；而点到平面的距离正是以那个平面为底面时的高。
为什么： 换底前后体积不变是唯一依据，所以两次必须算同一个几何体。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
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- 未经教师人工审核
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- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。