旋转体的表面积（圆柱、圆锥、圆台、球）
公式初稿待审bx2-c13-s3-k2
一句话 · 旋转体的侧面积都由展开图得到：圆柱是 2πrl、圆锥是 πrl、圆台是 π(r + r′)l；表面积还要加上各底面面积，球则是 4πR²。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
表面积 = 侧面积 + 各底面面积
侧面积只算侧面，不含底面
做一个圆柱形纸筒，要用多少纸？
②例题实操
5 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
圆柱底面半径 r = 3，高 h = 4
S侧 = 2πrh = 2π×3×4 = 24π
两个底面积 = 2πr² = 2π×9 = 18π
表面积 = 24π + 18π = 42π
答：侧面积 24π，表面积 42π
卡住了？展开这一段的讲解
先算圆柱：底面半径三，高四。
- 2第 8 段例题
圆锥底面半径 r = 3，母线 l = 5
S侧 = πrl = π×3×5 = 15π
底面积 = πr² = 9π
表面积 = 15π + 9π = 24π
答：侧面积 15π，表面积 24π
卡住了？展开这一段的讲解
再算圆锥：底面半径三，母线五。
- 3第 9 段例题
圆台 r′ = 1，r = 4，母线 l = 5
S侧 = π(r + r′)l = π×5×5 = 25π
两个底面积 = πr² + πr′² = 16π + π = 17π
表面积 = 25π + 17π = 42π
答：侧面积 25π，表面积 42π
卡住了？展开这一段的讲解
圆台：上底半径一，下底半径四，母线五。
- 4第 10 段例题
球半径 R = 3
S = 4πR² = 4π×9 = 36π
球没有底面，不用再加
答：表面积 36π
卡住了？展开这一段的讲解
最后算球：半径三，只有一个公式。
- 5第 11 段例题
圆柱：展开成矩形，S侧 = 2πrl
圆锥：展开成扇形，S侧 = πrl
圆台：展开成扇环，S侧 = π(r + r′)l
三个公式里的 π 都不能少
展开图里的弧长就是底面周长
卡住了？展开这一段的讲解
把三个公式放在一起看，它们都是展开图的面积。
③章节训练
第13章 立体几何初步 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 圆台侧面积漏乘 π，写成 (r + r′)l
- 把母线 l 当成高 h 代入公式（圆锥、圆台里 l > h）
- 把圆台两底半径之差当成母线长
- 把表面积当成侧面积，漏掉底面（圆柱、圆锥各有底面，圆台有两个）
- 记错球的公式，把表面积 4πR² 写成体积 (4/3)πR³
看完自测（3 题）
圆柱的侧面展开图是什么？它的长和宽分别对应圆柱的什么？
看答案与理由
答： 是一个矩形；宽是底面圆的周长 2πr，长是母线 l（直圆柱里母线等于高）。所以 S侧 = 2πrl。
为什么： 把曲面展开成平面图形，就把「曲面积」变成了已知的矩形面积，这是所有旋转体侧面积公式的共同来源。
为什么圆锥的侧面积是 πrl，而不是 2πrl？
看答案与理由
答： 圆锥侧面展开成扇形，扇形面积是弧长与半径乘积的一半：(1/2)×2πr×l = πrl。而圆柱展开成矩形，面积不打折，所以是 2πrl。
为什么： 两个公式差的那个「一半」来自扇形面积公式，不是记硬条文；想清展开图就不会串。
圆台的侧面积公式里，为什么要把上下两个半径相加？
看答案与理由
答： 因为上底周长是 2πr′、下底周长是 2πr，两条弧在同一个扇环里，扇环面积是 (1/2)(2πr + 2πr′)l，整理得 π(r + r′)l。漏掉任何一个半径或漏乘 π 都不对。
为什么： 两个底面都要参与，正好和棱台侧面积 (1/2)(c + c′)h′ 一个道理；把它归到「两条弧之差」就不会漏。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
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- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
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