共轭复数的运算性质
公式初稿待审bx2-c12-s3-k3
一句话 · 共轭可以分配进加、减、乘、除（除法要求分母不为零），两次共轭回到原数；其中 z·z̄ = |z|²、z + z̄ = 2Re(z) 是实数，z − z̄ = 2i·Im(z) 是纯虚数。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
z = 3 + 2i 的共轭是 z̄ = 3 − 2i
实部 3 不变，虚部由 2 变成 −2
点在图上从上方翻到下方
今天看共轭对运算做了什么
回忆定义：共轭只把虚部的符号改一下，实部不动。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 9 段例题
取 z₁ = 3 + 2i、z₂ = 1 − i
z₁ + z₂ = 4 + i，取共轭得 4 − i
z̄₁ + z̄₂ = (3 − 2i) + (1 + i) = 4 − i，两边一致
z₁z₂ = 5 − i，取共轭得 5 + i；z̄₁z̄₂ = (3 − 2i)(1 + i) = 5 + i，也一致
卡住了？展开这一段的讲解
第一组：把性质用在具体数上。
- 2第 10 段例题
求 z = 3 + 4i 的 z · z̄
z · z̄ = 3² + 4² = 25
它的虚部是 0，所以是实数
又 |z| = 5，验证了 |z|² = 25
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第二组：用乘积性质判断一个式子是不是实数。
- 3第 11 段例题
z + z̄ = (3 + 4i) + (3 − 4i) = 6
而 2Re(z) = 2 × 3 = 6，两边相等
z − z̄ = (3 + 4i) − (3 − 4i) = 8i
而 2i·Im(z) = 2i × 4 = 8i，两边相等
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第三组：把和、差性质写成实部与虚部的式子。
③章节训练
第12章 复数 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 取共轭时只改了其中一项，例如把 (z₁ + z₂) 的共轭写成 z̄₁ + z₂
- 把 z − z̄ 说成实数，其实它是纯虚数（虚部非零时不能与实数比大小）
- 把 z · z̄ = |z|² 与 z + z̄ = 2Re(z) 混用，两个结果并不是同一个量
- 写「商的共轭」时不写分母不为零的前提
- 以为任何复数取共轭都会变成实数
看完自测（3 题）
z = 3 + 2i 时，z · z̄ 与 z + z̄ 分别是多少？它们是实数吗？
看答案与理由
答： z · z̄ = 3² + 2² = 13，z + z̄ = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6，两者都是实数。
为什么： 乘积的性质给出模的平方，和的性质给出实部的两倍，两种组合的虚部都会消掉。
(z₁ / z₂) 的共轭等于什么？要注意什么？
看答案与理由
答： 等于 z̄₁ / z̄₂，前提是 z₂ ≠ 0。因为没有这个前提，商本身就没有意义。
为什么： 共轭能分配进除法，但除法有意义才有「商的共轭」可谈，前提必须跟着写。
为什么说共轭是把复数式化成实数的常用工具？
看答案与理由
答： 因为 z · z̄ = |z|²、z + z̄ = 2Re(z) 这类组合的结果一定是实数；实数能比较大小，复数不能。
为什么： 复数不能比大小，所以遇到需要比较或需要实数结论的地方，先用共轭把它化成实数。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
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- 未经教师人工审核
- 数学校验
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- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
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