复数的模的几何意义（距离）与轨迹问题
方法初稿待审bx2-c12-s3-k2
一句话 · |z| 是原点到点 Z 的距离，|z₁ − z₂| 是两点 Z₁、Z₂ 间的距离；把轨迹条件翻译成距离语言后，圆、垂直平分线、椭圆等图形就一眼可见。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
点 Z 表示复数 z
|z| 是向量 OZ 的长度
长度就是原点到 Z 的距离
所以 |z| 是一个距离
先看最简单的模：|z| 表示原点到点 Z 的距离。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 9 段例题
|z − 1| = 2：到点 1 的距离为 2 的点
所以是以 (1, 0) 为圆心、2 为半径的圆
|z + i| = 3 里的 z + i 要写成 z − (−i)
所以圆心是 (0, −1)，半径是 3
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第一组：认圆。
- 2第 10 段例题
|z − (2 − i)| 表示点 Z 到点 (2, −1) 的距离
|z₁ − z₂| 中 z₁ = 3 + 4i、z₂ = 1 − 2i 时得 |2 + 6i| = 2√10
求距离就用减法构造差，再取模
题目问「距离」时，答案是一个实数
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第二组：读距离，不必真的算模。
- 3第 11 段例题
「Z 到 1 + i 的距离为 2」⇒ |z − (1 + i)| = 2
「Z 到两定点距离相等」⇒ |z − z₁| = |z − z₂|
「Z 到原点的距离不超过 3」⇒ |z| ≤ 3
「Z 到 2 的距离等于到 −2 的距离」⇒ |z − 2| = |z + 2|
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第三组：把文字条件翻译成模的式子。
③章节训练
第12章 复数 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把 |z − z₀| = r 的半径写成 r²，把模与模的平方混为一谈
- 把 |z − z₀| ≤ r 说成圆，忘了它表示的是圆面
- 把「到两点距离相等」说成「到中点距离相等」或「过中点」
- 把 z + i 的圆心看成 (0, 1)，忘了要先写成 z − (−i)
- 只写出模的等式，不回答轨迹是什么图形
看完自测（3 题）
|z − (3 − i)| 的几何意义是什么？
看答案与理由
答： 点 Z 到点 (3, −1) 的距离。减法给出两点之差，取模就是这两点之间的距离。
为什么： 关键是把 z − z₀ 读成「点 Z 与定点 Z₀ 的差」，模就读成距离；注意 z₀ = 3 − i 对应点 (3, −1)。
满足 |z − 1| = |z + 2i| 的点 Z 的轨迹是什么？
看答案与理由
答： 点 1 与点 −2i 所连线段的垂直平分线。因为左右两边分别是 Z 到这两个定点的距离，距离相等就在这条垂直平分线上。
为什么： 把两个模分别读成到两个定点的距离，条件就变成「到两点距离相等」，这正是垂直平分线的定义。
|z| ≤ 2 表示什么图形？
看答案与理由
答： 以原点为圆心、2 为半径的圆面（包含边界）。不等式给出的是距离不超过 2 的所有点，不只是圆周。
为什么： 等号给边界、不等号给区域：|z| = 2 才是圆，加上「≤」就填满了整个内部。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。