复数的除法运算（分母实数化、共轭复数）
公式初稿待审bx2-c12-s2-k2
一句话 · 复数除法的核心是分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数，利用 z·z̄ = |z|² 把分母变成非零实数，结果唯一确定。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
问题：两个复数怎么相除
难点：分母是复数，没法直接除
加减乘都会了，最后剩除法。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
(1 + i) ÷ (1 − i)
分子分母同乘 1 + i
= (1 + i)² / [(1 − i)(1 + i)]
= 2i / 2 = i
卡住了？展开这一段的讲解
先算一道简单的。一加 i 除以一减 i，分母实数化后就清楚了。
- 2第 9 段例题
(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)
同乘 1 + 2i：分子 = (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i
分母 = (1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5
= (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i
卡住了？展开这一段的讲解
再看一道分子分母都不简单的。三加四 i 除以一减二 i。
- 3第 10 段例题
z = (2 + 2i) ÷ (1 − i)
同乘 1 + i：分子 = (2 + 2i)(1 + i) = 4i，分母 = 2
z = 2i，所以 z̄ = −2i
|z|² = z·z̄ = 2i × (−2i) = 4
卡住了？展开这一段的讲解
最后一题要求三个量。先算 z，再写共轭，最后求模的平方。
③章节训练
第12章 复数 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 只给分子乘共轭，忘记分母也要乘，分式的值被改变
- 把共轭写成 −a + bi，把实部也变了号
- 分母乘完不化简，忘记分母其实是 c² + d²
- 误以为 z·z̄ 还是复数，不敢把它当实数用
- 分母为零（c、d 同时为 0）时仍然套除法公式
看完自测（3 题）
复数 3 + 4i 的共轭是什么？它与原数的乘积是多少？
看答案与理由
答： 共轭是 3 − 4i，乘积是 25。
为什么： (3 + 4i)(3 − 4i) = 9 + 16 = 25，正好是 |3 + 4i|²，结果一定是实数。
计算 (1 + i) ÷ (1 − i)。
看答案与理由
答： 等于 i。
为什么： 分子分母同乘 1 + i，分子得 (1 + i)² = 2i，分母得 2，所以商是 i。
为什么做除法时分子分母必须同乘？
看答案与理由
答： 因为只有同乘一个非零数，分式的值才不变；只乘分子等于把原式放大了。
为什么： 分母实数化只是改变形式，不能改变数值，这是分式的基本性质。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。