i 的幂的周期性（iⁿ 四个一循环）
公式初稿待审bx2-c12-s2-k3
一句话 · 由 i⁴ = 1 得 i 的幂四个一循环：指数除以 4 的余数为 0、1、2、3 时，iⁿ 依次等于 1、i、−1、−i，连续四项的和恒为 0。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
已知 i² = −1
问题一：i³、i⁴ 各等于几？
问题二：i 的一百次方怎么算？
先动手算最小的几个
先看两个问题：i 的平方、三次方、四次方各等于多少？
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
i¹⁰⁰：100 = 4 × 25 + 0，余 0，所以 i¹⁰⁰ = 1
i⁹⁹：99 = 4 × 24 + 3，余 3，所以 i⁹⁹ = −i
i²⁰²⁶：2026 = 4 × 506 + 2，余 2，所以 i²⁰²⁶ = −1
i²⁰²⁵：2025 = 4 × 506 + 1，余 1，所以 i²⁰²⁵ = i
卡住了？展开这一段的讲解
第一组：把指数换成商加余数，看清余数是几。
- 2第 9 段例题
i + i² + i³ + i⁴ = i − 1 − i + 1 = 0
任意连续四项：iⁿ + i^(n+1) + i^(n+2) + i^(n+3) = iⁿ(1 + i − 1 − i) = 0
i²⁰²⁶ + i²⁰²⁷ + i²⁰²⁸ + i²⁰²⁹ = −1 + (−i) + 1 + i = 0
结论：连续四项的和恒为 0
卡住了？展开这一段的讲解
第二组：连续四项相加，每一组的和都等于零。
- 3第 10 段例题
i²⁰²⁴ + i²⁰²⁵ = 1 + i
i²⁰²⁴ · i²⁰²⁵ = i²⁰²⁴⁺²⁰²⁵ = i⁴⁰⁴⁹ = i
i¹ + i² + i³ = i − 1 − i = −1
先化到四个基本值，再运算
卡住了？展开这一段的讲解
第三组：先把每个幂化成最简，再做加减。
- 4第 11 段例题
求最小的 n ≥ 2020，使 iⁿ = −1
−1 对应的余数是 2，所以 n 除以 4 余 2
2020 除以 4 余 0，再往后数：2021 余 1、2022 余 2
所以最小的 n 是 2022
卡住了？展开这一段的讲解
第四组：求满足条件的指数，本质是让指数除以四的余数对号入座。
③章节训练
第12章 复数 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把指数除以 4 的商当成结果，忽略余数
- 把余数与取值的对应关系记反，例如把余 1 写成 −i
- 求「iⁿ 等于某个值」时用商而不是余数去定指数
- 不会化简就连乘几十次，既慢又容易算错符号
- 把 i 的幂说成通常意义下的周期函数，忘了周期只在整数次幂上讨论
看完自测（3 题）
为什么 i 的幂四个一循环？
看答案与理由
答： 因为 i⁴ = 1，所以每多乘四个 i 就相当于乘 1，幂的值按 i、−1、−i、1 的顺序反复出现。
为什么： 周期性是从 i⁴ = 1 推出来的，不是单独规定的；抓住这个依据，忘记具体对应关系时也能现场推。
化简 i¹⁰⁰ 的标准步骤是什么？
看答案与理由
答： 先把指数除以 4：100 = 4 × 25 + 0，余数为 0，所以 i¹⁰⁰ = (i⁴)²⁵ = 1。
为什么： (i⁴)^k = 1 把前面每四个 i 都变成了 1，只剩下与余数对应的那一部分。
iⁿ + i^(n+1) + i^(n+2) + i^(n+3) 等于多少？
看答案与理由
答： 等于 0。因为提出公因式 iⁿ 后括号里是 1 + i − 1 − i = 0。
为什么： 连续四项恰好覆盖四类余数各一次，四个基本值的和为零，所以任意连续四项的和都是 0。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。