复数的概念与代数形式 a+bi（虚数单位 i²=−1）
概念初稿待审bx2-c12-s1-k1
一句话 · 引入虚数单位 i（i² = −1）后，形如 z = a + bi（a, b ∈ R）的数叫复数：a 是实部，b 是虚部，复数与复平面上的点 Z(a, b) 一一对应。
前置知识
无（本知识点是起点）。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
方程 x² = −1
问题：它在实数范围内有解吗？
先回忆：实数的平方有什么特点？
带着这个问题往下看
先看一个老问题：x 的平方等于负一，有实数解吗？
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
3 + 2i：实部 3，虚部 2
3 − 2i：实部 3，虚部 −2
−2i：实部 0，虚部 −2
5：实部 5，虚部 0
√3 − i：实部 √3，虚部 −1
卡住了？展开这一段的讲解
来看几个读数练习，把每个复数的实部和虚部读出来。
- 2第 9 段例题
复数 z = a + bi 对应点 Z(a, b)
横轴叫实轴，纵轴叫虚轴
这个平面叫复平面
实轴上的点对应实数，虚轴上除原点外的点对应纯虚数
卡住了？展开这一段的讲解
复数还能画出来：把 a 和 b 看成一对坐标就行。
- 3第 10 段例题
点 (2, −3) 对应 2 − 3i
点 (0, 1) 对应 i，实部为 0
点 (−1, 0) 对应 −1，是实数
先看横坐标定 a，再看纵坐标定 b
卡住了？展开这一段的讲解
反过来，给定复平面上的点，也要能写出它对应的复数。
③章节训练
第12章 复数 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把虚部写成 bi，把 b 与 bi 混为一谈
- 忘掉 a、b ∈ R 这个前提，以为 a、b 可以取 i 这类数
- 计算中遇到 i² 不换成 −1
- 看到 −i 就以为实部是 −1，其实实部是 0
- 把复平面上的点 (a, b) 与复数 a + bi 的对应关系写反
看完自测（3 题）
方程 x² = −1 在实数范围内有解吗？为什么？
看答案与理由
答： 没有实数解。因为对任何实数 x 都有 x² ≥ 0，不可能等于 −1。
为什么： 平方非负是实数集的基本性质；要让这个方程有解，只能把数集扩充到复数集。
复数 3 − 2i 的实部和虚部分别是什么？
看答案与理由
答： 实部是 3，虚部是 −2。
为什么： 标准形式 a + bi 中实部是 a、虚部是 b，这里的 b 就是 −2；写成 −2i 就把虚部与带 i 的那一项混了。
为什么定义复数时必须要求 a、b 都是实数？
看答案与理由
答： 因为分类、比较、求模都建立在 a、b 是实数之上；若 a、b 还能取 i 这类数，a + bi 就不是标准形式，实部虚部也无从谈起。
为什么： 标准形式是后面所有结论的前提，先把前提锁死，后面才不会自相矛盾。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。