辅助角公式 asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ) 与 φ 的确定
公式初稿待审bx2-c10-s3-k2
一句话 · a sinx + b cosx 可以合并成一项 √(a²+b²)·sin(x+φ)：振幅是 √(a²+b²)，角 φ 满足 cosφ = a/√(a²+b²)、sinφ = b/√(a²+b²)。tanφ = b/a 只能给出两个相差 π 的候选角，φ 的象限必须由 (a, b) 的符号决定。合并后最值与周期一目了然。
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
要处理的对象：a sinx + b cosx
一项正弦加一项余弦，名字不一样。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
化简 3sinx + 4cosx
√(3²+4²) = 5
3sinx + 4cosx = 5( (3/5)sinx + (4/5)cosx )
卡住了？展开这一段的讲解
看一道题。三倍正弦加四倍余弦，先求根号下平方和。
- 2第 9 段例题
取 cosφ = 3/5，sinφ = 4/5
两者都为正 ⇒ φ 在第一象限，tanφ = 4/3
3sinx + 4cosx = 5sin(x+φ)
最大值 5，最小值 −5，最小正周期 2π
卡住了？展开这一段的讲解
五分之三是余弦，五分之四是正弦。所以 φ 在第一象限。
- 3第 10 段例题
sinx − cosx = √2 ( (√2/2)sinx − (√2/2)cosx )
取 cosφ = √2/2，sinφ = −√2/2 ⇒ φ = −π/4
所以 sinx − cosx = √2 sin(x − π/4)
值域是 [−√2, √2]
卡住了？展开这一段的讲解
再化简一个。正弦减余弦，这次 φ 是负角。
③章节训练
第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 只用 tanφ = b/a 定角，忘了正切周期是 π，把象限取错
- a < 0 时不看符号，直接取 arctan(b/a)，导致整体差一个负号
- 振幅忘开根号，把 √(a²+b²) 写成 a + b
- 系数与函数名配错：把 sinφ = a/√(a²+b²) 写成 sinφ = b/√(a²+b²)
- 把 sinx − cosx 化成 √2 sin(x + π/4)，符号整反
看完自测（3 题）
把 a sinx + b cosx 合成一项时，先算哪个量？
看答案与理由
答： 先算振幅 √(a²+b²)，它是提出来的公因式。
为什么： 只有提出这个公因式，剩下的两个系数平方和才是 1，才能当同一个角的余弦与正弦。
已知 tanφ = b/a，φ 唯一吗？
看答案与理由
答： 不唯一，相差 π 的两个角正切相同；还要用 (a, b) 的符号定象限。
为什么： cosφ 与 a 同号、sinφ 与 b 同号，这两条合起来才能把 φ 定死。
把 f(x) = 3sinx + 4cosx 合并成一项后，最大值是多少？
看答案与理由
答： 5，因为 f(x) = 5sin(x+φ)，正弦的最大值是 1。
为什么： 合并的意义就在这里：两项的最值不好看，一项的最值直接由振幅给出。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。