积化和差与和差化积公式
公式初稿待审bx2-c10-s3-k1
一句话 · 积化和差把 sinαcosβ、cosαcosβ、sinαsinβ 这类乘积写成两角和差的加减式，系数是 ½；和差化积把 sinA±sinB、cosA±cosB 写成乘积，系数是 2，角取半和与半差。两组公式互为逆用，都能由和角公式相加、相减得到，不必死记。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
要处理的对象：sinα cosβ
先看一个乘积，正弦乘余弦。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
求 sin(7π/12)·cos(π/12)
用 sinα cosβ = ½[sin(α+β) + sin(α−β)]
α+β = 2π/3，α−β = π/2
卡住了？展开这一段的讲解
先求一个乘积。正弦十二分之七派乘余弦十二分之派。
- 2第 9 段例题
求 sin(5π/12) + sin(π/12)
用 sinA + sinB = 2sin((A+B)/2) cos((A−B)/2)
半和是 π/4，半差是 π/6
卡住了？展开这一段的讲解
两项相加也能合成乘积。看正弦加正弦。
- 3第 10 段例题
化简 sin(π/4+α)·sin(π/4−α)
用 sinα sinβ = ½[cos(α−β) − cos(α+β)]
这里 α−β = 2α，α+β = π/2
卡住了？展开这一段的讲解
再看一个含字母的。两个正弦相乘，角里都带着 α。
③章节训练
第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 漏掉系数：把 sinαcosβ 直接写成 sin(α+β)+sin(α−β)，丢了 ½
- 符号写反：把 sinαsinβ 记成 ½[cos(α+β) − cos(α−β)]
- 和差化积时角忘记减半，把 (A+B)/2 写成 A+B
- 把 cosA + cosB 与 sinA + sinB 的右边弄混，配错了函数名
- cosA − cosB 前漏掉负号
看完自测（3 题）
积化和差的四条公式里，系数都是多少？
看答案与理由
答： 都是 ½，因为它是两角和与差公式相加或相减后两边同除以 2 得到的。
为什么： 相加得到的是 2sinαcosβ，所以必须除以 2 才是 sinαcosβ。
和差化积右边的角为什么是半和与半差？
看答案与理由
答： 因为它是把积化和差里的 α、β 反解成 (A+B)/2 与 (A−B)/2 得到的。
为什么： 令 α+β=A、α−β=B，解出 α=(A+B)/2、β=(A−B)/2。
求 sin(7π/12)cos(π/12) 时，第一步该取哪两个角？
看答案与理由
答： 取 α=7π/12、β=π/12，算 α+β=2π/3 与 α−β=π/2，两者都是特殊角。
为什么： 积化和差好用不好用，全看拼出来的和与差是不是特殊角。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。