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辅助角 φ 取错象限（用 tanφ=b/a 时忽略 a 的符号）

易错初稿待审

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一句话 · 辅助角公式里 tanφ = b/a 只给出相差 π 的两个候选角：要定死 φ，必须看 (a, b) 落在哪个象限 —— cosφ 与 a 同号、sinφ 与 b 同号。a < 0 时直接取 arctan(b/a) 是最常见的错法，会让整条式子差一个负号。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

辅助角公式：a sinx + b cosx = √(a²+b²) sin(x+φ)

tanφ = b/a 给出的只是候选角

讲稿

同一个正切值，常常对应两个角。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 8 段例题

    • 化简 −sinx + cosx

    • 振幅 √((−1)² + 1²) = √2

    • 原式 = √2 ( −(√2/2)sinx + (√2/2)cosx )

    • 要 cosφ = −√2/2 且 sinφ = √2/2

    卡住了？展开这一段的讲解

    第一例。先把振幅算出来，再按符号定象限。

  2. 2第 9 段例题

    • 两个系数一负一正 ⇒ φ 在第二象限

    • φ = 3π/4，−sinx + cosx = √2 sin(x+3π/4)

    • 取 x = 0.6 核对：左边 ≈ 0.2607，右边 √2 sin(0.6+3π/4) ≈ 0.2607

    • 错选 φ = −π/4 得 √2 sin(x−π/4) = sinx − cosx，正好差一个负号

    卡住了？展开这一段的讲解

    余弦是负的，正弦是正的，所以角取四分之三派。

  3. 3第 10 段例题

    • 化简 −√3 sinx − cosx

    • 振幅 √(3 + 1) = 2

    • cosφ = −√3/2，sinφ = −1/2 ⇒ φ = −5π/6

    • −√3 sinx − cosx = 2sin(x − 5π/6)

    • 取 x = 0.5 核对：左边 ≈ −1.7080，右边 2sin(0.5 − 5π/6) ≈ −1.7080

    卡住了？展开这一段的讲解

    第二例。两个系数都为负，这一次角落在第三象限。

  4. 4第 11 段例题

    • 化简 −3sinx + 4cosx

    • 振幅 √(9 + 16) = 5

    • cosφ = −3/5，sinφ = 4/5 ⇒ φ 在第二象限

    • tanφ = b/a = 4/(−3) = −4/3，φ = π − arctan(4/3) ≈ 2.2143

    • −3sinx + 4cosx = 5sin(x+φ)，最大值 5

    卡住了？展开这一段的讲解

    第三例。系数是负三和正四，正切等于负的三分之四。

③章节训练

第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

115 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 用 tanφ = b/a 算出数值就直接下结论，忘了正切周期是 π、有两个候选角
  • a < 0 时把 arctan(b/a) 当成 φ，整体符号弄反
  • 只比较正切值，不检查 cosφ 与 a 同号、sinφ 与 b 同号
  • 把两个系数配错：cosφ 配成了 b，sinφ 配成了 a
  • 振幅忘开根号，把 √(a²+b²) 写成 |a| + |b|

看完自测（3 题）

  • 由 tanφ = b/a 得到的角，为什么不能直接当答案？

    看答案与理由

    答： 因为正切的周期是 π，满足它的角相差 π，两个角的余弦与正弦同时变号。

    为什么： 必须在两个候选里用 (a, b) 的符号挑一个，否则会把振幅前的正负号弄反。

  • 化简 −sinx + cosx 时，φ 该取多少？

    看答案与理由

    答： 取 3π/4，因为 cosφ 为负、sinφ 为正，角在第二象限。

    为什么： tanφ = −1 的两个候选是 −π/4 与 3π/4，只有第二象限的 3π/4 能还原出原式。

  • a < 0 时用 arctan(b/a) 当 φ，会出什么错？

    看答案与理由

    答： 会取到第四象限的角，展开后得到的是原式的相反数，整条式子差一个负号。

    为什么： a < 0 说明 cosφ 必须为负，角不可能落在余弦为正的第四象限。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。