证明三角恒等式的基本思路（左右归一、作差为零）
方法初稿待审bx2-c10-s3-k3
一句话 · 证明三角恒等式先观察再动手：看角、看函数名、看结构，然后从较复杂的一边出发化简（从左化到右）；两边都不简单时，把两边各自化成同一个式子（左右归一）；两边都是分式时，把左边减右边通分化简成 0（作差为零）。三条路线都不能把要证的等式当已知条件用。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
恒等式：定义域内每一个 α 都成立
方程：只要找出使等式成立的那些 α
恒等式要对定义域内每个角都成立。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
求证：(sinα + cosα)² = 1 + sin2α
左边展开 = sin²α + 2sinαcosα + cos²α
= 1 + sin2α = 右边
卡住了？展开这一段的讲解
看一道题。左边是平方，比右边复杂，从左边展开。
- 2第 9 段例题
求证：cos⁴α − sin⁴α = cos2α
左边 = (cos²α + sin²α)(cos²α − sin²α)
= cos²α − sin²α = cos2α
卡住了？展开这一段的讲解
第二题用平方差。四次方不好办，先分解成两个二次的积。
- 3第 10 段例题
求证：(1 + sinα)/cosα = cosα/(1 − sinα)
左边 − 右边 = [(1+sinα)(1−sinα) − cos²α] / [cosα(1−sinα)]
分子 = 1 − sin²α − cos²α = 0，故左 = 右
卡住了？展开这一段的讲解
第三题两边都是分式。这时作差为零最省事，通分后分子直接归零。
③章节训练
第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把要证的等式当已知条件，两边同时变形，属于循环论证
- 两边同时平方或同乘一个含 α 的式子，可能引入增根
- 用几个特殊角代入成立就宣布恒等式成立
- 忽略定义域限制，写出使分母为零的角
- 越化越长还硬往下走，不肯换一条路线
看完自测（3 题）
证明恒等式前，先看什么？
看答案与理由
答： 先看角是否统一、函数名是否统一、结构上是平方还是分式，再决定从哪边出发。
为什么： 方向选错会比不会公式更浪费时间，观察一步几乎不花时间。
什么时候用「作差为零」最省事？
看答案与理由
答： 两边都是分式，或者两边都很复杂、谁也不容易直接化到对方时。
为什么： 通分后分子往往能直接用平方关系约成 0，一步收口。
为什么不能把要证的等式两边同时平方？
看答案与理由
答： 那等于把结论当条件用，属于循环论证；平方还可能引入不成立的增根。
为什么： 证明只能从已知出发，推出要证的式子，不能反过来假设它成立。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。