二倍角公式的角不是「两倍关系」时硬套
易错初稿待审bx2-c10-s2-k5
一句话 · 二倍角公式只认「两倍关系」：sin3α 与 sinα 之间不是两倍关系，写成 2sinαcosα 是错的，要拆只能拆成 2sin(3α/2)cos(3α/2)；另一类错误是只给了 sinα 求 sin2α 时忘记讨论象限，导致 cosα 的符号取错、sin2α 漏掉一个值。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
sin2α = 2 sinα cosα
二倍角公式里，谁是谁的两倍？
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 8 段例题
sinα = 3/5，α 在第二象限
cosα = −4/5
sin2α = 2·(3/5)·(−4/5) = −24/25
卡住了？展开这一段的讲解
第一题给了象限，所以二倍角的正弦只有一个值。
- 2第 9 段例题
sinα = 3/5，α 在第一象限
cosα = 4/5，sin2α = 24/25
cos2α 仍是 7/25，它只由正弦决定
卡住了？展开这一段的讲解
第二题把象限换到第一象限，正弦的符号跟着变。
- 3第 10 段例题
sinα = 1/3，求 sin2α
cosα = ±2√2/3
sin2α = ±4√2/9，两个值都要写
卡住了？展开这一段的讲解
第三题只给正弦值，没给象限，就要讨论两种位置。
③章节训练
第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把 3α 与 α 当成两倍关系，写成 sin3α = 2 sinα cosα 或 cos3α = 2cos²α − 1
- 把 sin3α 写成 3 sinα，凭空造出三倍角公式
- 只给 sinα 的值却直接取 cosα 为正，漏掉另一个值
- 给了 α 的象限却仍然讨论两种情形，答案多写一个
- 把 cos2α = 1 − 2sin²α 记成 1 − 2cos²α，符号与函数名一起弄错
看完自测（3 题）
sin3α = 2sinαcosα 对吗？为什么？
看答案与理由
答： 不对。2sinαcosα = sin2α，右边对应的是 2α 而不是 3α。
为什么： 公式要求两个角成两倍关系，3α 与 α 不满足。
想把 3α 用二倍角公式处理，应该怎么写？
看答案与理由
答： 把 3α 看成 2·(3α/2)，得 sin3α = 2sin(3α/2)cos(3α/2)。
为什么： 只要括号里的角是原来角的一半，两倍关系就成立；只是角变碎，通常不划算。
已知 sinα 的值求 sin2α，什么时候需要讨论？
看答案与理由
答： 没给 α 的象限（或其它能定号的条件）时要讨论：cosα 有正负两种可能，sin2α 就有两个值。
为什么： sin2α = 2sinαcosα，符号完全由 cosα 决定，而 cosα 的符号来自象限。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。