半角公式与升幂、降幂的选用

方法初稿待审

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一句话 · 半角公式由降幂公式开方得到：sin(α/2)=±√((1−cosα)/2)、cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)，正负号由 α/2 所在象限决定，而α/2 的范围必须先由 α 的范围除以二求出；升降幂是一对配对关系——降幂就升角，升幂就降角。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

已知 cosα，求 α/2 的正弦与余弦

α 与 α/2 之间只差「一半」这一层关系

讲稿

一个角的余弦知道了，它一半的角怎么求？

3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- 已知 cosα = 1/3，求 sin²(α/2)
- sin²(α/2) = (1 − cosα)/2 = (1 − 1/3)/2 = 1/3
卡住了？展开这一段的讲解
第一题只要求平方项，不用开方，也就没有符号问题。
2第 9 段例题
- 已知 cosα = −3/5，α 是第三象限角
- α/2 在第二象限：正弦为正，余弦为负
- sin(α/2) = 2√5/5，cos(α/2) = −√5/5
卡住了？展开这一段的讲解
第二题要开方了。先由范围定出角一半在哪个象限。
3第 10 段例题
- cos(π/8) = √((1 + cos(π/4))/2)
- = √(2 + √2)/2
- π/8 在第一象限，所以取正号
卡住了？展开这一段的讲解
第三题求八分之派这个角的余弦，答案要取正号。

第10章三角恒等变换 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

115 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

14 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

半角公式是怎么得到的？
看答案与理由
答：把降幂公式 sin²x=(1−cos2x)/2 中的 x 换成 α/2，得 sin²(α/2)=(1−cosα)/2，再开方即得；余弦同理。
为什么： 它没有引入新公式，只是降幂公式的换元加开方。
sin(α/2)=±√((1−cosα)/2) 里的正负号由什么决定？
看答案与理由
答：由 α/2 所在象限决定：该象限内正弦为正就取正号，为负就取负号。
为什么： 平方项只给出大小，符号的信息在角的位置里，所以要先把 α/2 的范围求出来。
“降幂就升角，升幂就降角”是什么意思？
看答案与理由
答：把平方降成一次，代价是角从 α 变成 2α；反过来把角减半（升幂开方）时，平方项写成一次式后角也减半。
为什么： 两条方向互逆，说的是同一组恒等式的两种用法。

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