余弦二倍角的三种形式与降幂公式
公式初稿待审bx2-c10-s2-k2
一句话 · cos2α 有三种等价写法：cos²α−sin²α、2cos²α−1、1−2sin²α，后两种反过来就是降幂公式 cos²α=(1+cos2α)/2 与 sin²α=(1−cos2α)/2；降幂的同时角翻倍，升幂的同时角减半。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
cos2α = cos²α − sin²α
余弦二倍角的右边，其实能写成三种样子。
②例题实操
3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 9 段例题
已知 cosα = 1/3，求 cos2α
只给了余弦，选（二）：2cos²α − 1
卡住了？展开这一段的讲解
看一道题。已知余弦是三分之一，求二倍角的余弦。
- 2第 10 段例题
cos2α = 2·(1/3)² − 1 = 2/9 − 1 = −7/9
另两种形式结果相同，可用来核对
卡住了？展开这一段的讲解
代进去。二乘九分之一再减一，得负九分之七。
- 3第 11 段例题
cos²(π/8) = (1 + cos(π/4))/2
= (1 + √2/2)/2 = (2 + √2)/4
同理 sin²(π/12) = (2 − √3)/4
卡住了？展开这一段的讲解
再看降幂怎么用。求八分之派这个角的余弦平方。
③章节训练
第10章 三角恒等变换 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把降幂公式的符号记反：cos²α 对应 1+cos2α，sin²α 对应 1−cos2α
- 降幂后忘了角要翻倍，把 cos2α 写成 cosα
- 把 2cos²α − 1 记成 2cos²α + 1
- 三种形式选错：给了正弦却去用只含余弦的那一种，反而多绕一步
- 把「降幂就升角、升幂就降角」的配对关系弄反
看完自测（3 题）
cos2α 有哪三种等价形式？
看答案与理由
答： cos²α−sin²α、2cos²α−1、1−2sin²α，三者恒等。
为什么： 后两种是用平方关系把其中一个平方项消掉得到的。
降幂公式是什么？它为什么叫降幂？
看答案与理由
答： cos²α=(1+cos2α)/2，sin²α=(1−cos2α)/2；左边是二次，右边是一次。
为什么： 幂次从二次降到一次，代价是角从 α 变成 2α。
已知 cosα 的值求 cos2α，用哪一种形式最省？
看答案与理由
答： 用 2cos²α−1，因为它只含余弦。
为什么： 另一个平方项已经用平方关系消掉了，不必再求 sinα。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- pending
- 段落数
- 13
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。