易错：忽略「图象连续」这一前提；把零点存在定理当成充要条件

易错初稿待审

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一句话 · 零点存在定理的两个前提缺一不可：图象在区间上连续不断、两端函数值异号；它只保证至少一个零点，反过来并不成立。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

本节只讲零点存在定理的两个易错点

讲稿

先用代入法算两个值，再用它们判断零点，这是最常见的用法。

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 5 段例题
- 坑一：丢掉「图象连续」
卡住了？展开这一段的讲解
坑一：把图象连续这条丢掉。看一个不连续的例子：反比例函数。
2第 6 段例题
- f(-1) 为负，f(1) 为正，确实异号
- 但在 [-1,1] 上没有零点
- 原因：图象在 0 处断开
卡住了？展开这一段的讲解
两个端点函数值一正一负，按定理好像该有零点。可它取不到零，因为它没有穿过横轴。
3第 9 段例题
- 同一函数两端函数值都是正
- 区间内却有零点 0
卡住了？展开这一段的讲解
举一个反例：平方函数在闭区间上两端函数值都等于一，同号。中间却有一个零点。
4第 10 段例题
- 零点处图象与横轴相切
- 「有零点」推不出「端点异号」
卡住了？展开这一段的讲解
它只是碰着横轴就回头，没有穿过去。所以端点同号完全可能藏着零点。

第8章函数应用 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

105 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

9 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

零点存在定理的两个前提是什么？
看答案与理由
答：图象在区间上连续不断；区间两端函数值异号。
为什么： 少任何一个，结论都可能不成立。
「函数在区间内有零点」能推出「端点函数值异号」吗？
看答案与理由
答：不能。平方函数在闭区间上两端同号，中间却有零点。
为什么： 定理是充分条件，不是充要条件。
不连续时端点异号，会有零点吗？
看答案与理由
答：不一定。反比例函数在端点异号的区间上就没有零点。
为什么： 图象在间断点处跨不过横轴。

未填密钥

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