零点存在定理（图象连续且端点函数值异号）

公式初稿待审

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一句话 · 若 f(x) 在 [a,b] 上图象连续不断且 f(a)·f(b)<0，则 (a,b) 内至少存在一个零点；定理只保证存在，要断定唯一还需要单调性，且两个条件缺一不可。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

两端异号 ⇒ 中间有零点？

讲稿

只算两个端点的函数值，就能断定中间有零点吗？

5 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- f(0)=−1<0，f(1)=1>0
- 图象在 [0,1] 上连续不断
- ⇒ 在 (0,1) 内存在零点
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：f x 等于 x 立方加 x 减 1。它在零到一内有零点吗？
2第 8 段例题
- f(−1)=−1，f(1)=1，确实异号
- 但 x=0 处图象断开
- 前提不满足 ⇒ 没有零点
卡住了？展开这一段的讲解
例 2：看 f x 等于 x 分之一。两端异号，它有零点吗？
3第 9 段例题
- f(−2)=3，f(2)=3，两端同号
- 但 f(−1)=f(1)=0
- 端点同号不能断定没有零点
卡住了？展开这一段的讲解
例 3：f x 等于 x 平方减 1 在负二到二上，两端同号。可它有零点吗？
4第 10 段例题
- 算得 f(0)<0 与 f(1)>0
- 符号在 0 与 1 之间改变
- 零点在区间 (0,1) 内
卡住了？展开这一段的讲解
例 4：f x 等于 x 立方加 x 减 1 的零点在哪两个整数之间？
5第 11 段例题
- x³ 与 x−1 都是增函数
- 它们的和也是增函数 ⇒ 至多一个
- 结合两端异号 ⇒ 恰好一个
卡住了？展开这一段的讲解
例 5：这个函数在零到一内有几个零点？它单调递增，所以恰好一个。

第8章函数应用 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

105 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

9 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

零点存在定理的两个条件分别是什么？
看答案与理由
答： ① $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的图象连续不断；② $f (a) \cdot f (b) < 0$ （两端函数值异号）。
为什么： 两个条件都是前提：连续保证曲线不断开，异号保证两端一个在 x 轴下方一个在上方。
有了零点存在定理，为什么还要判断单调性？
看答案与理由
答：定理只保证区间内至少有一个零点；若函数在该区间上单调，零点就至多一个，两者合起来才能断定「恰好一个」。
为什么： 「存在」与「唯一」是两件事，定理只解决前一件。
$f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $[- 1, 1]$ 上满足 $f (- 1) f (1) < 0$ ，它在 $(- 1, 1)$ 内有零点吗？
看答案与理由
答：没有。它在 $x = 0$ 处没有定义，图象不连续，不满足定理的第一个条件。
为什么： 端点异号只是条件之一，图象断开时曲线可以「跳过」x 轴，结论不再成立。

未填密钥

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