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判断函数零点个数与所在区间

方法初稿待审

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一句话 · 判断零点个数有两条路：先用单调性说明「至多一个」、再用存在定理说明「至少一个」，合起来就是恰好一个；或者把方程改写成两个函数相等，数图象交点个数。

开始练习（8 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 1 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

零点到底有几个？

讲稿

两端异号只说明有零点，那到底有几个？

②例题实操

5 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 6 段例题

    • 定义域 x>0

    • f(2)≈−0.31<0，f(3)≈1.10>0

    • 零点在 (2,3) 内

    卡住了？展开这一段的讲解

    例 1：f x 等于 ln x 加 x 减 3，零点在哪个区间？

  2. 2第 7 段例题

    • ln x 与 x 都是增函数

    • 和也是增函数 ⇒ 至多一个

    • 结合 f(2)<0<f(3) ⇒ 恰好一个

    卡住了？展开这一段的讲解

    例 2：f x 等于 ln x 加 x 减 3 有几个零点？它递增，所以恰好一个。

  3. 3第 8 段例题

    • 看成 y=|x| 与 y=2−x²

    • 两条曲线交于两点

    • 原方程有两个解

    卡住了？展开这一段的讲解

    例 3：方程 x 的绝对值等于 2 减 x 平方，有几个解？

  4. 4第 9 段例题

    • 移项得 f(x)=2ˣ+x−1

    • f 递增 ⇒ 至多一个解

    • 又 f(0)=0 ⇒ 恰好一个解

    卡住了？展开这一段的讲解

    例 4：方程 2 的 x 次方等于负 x 加 1 有几个解？

  5. 5第 10 段例题

    • f(2.5)=ln2.5−0.5>0

    • 与 f(2)<0 异号

    • 零点在 (2,2.5) 内

    卡住了？展开这一段的讲解

    例 5：再算一个中间点，把零点所在区间缩到一半。

③章节训练

第8章 函数应用 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

105 分

限时

80 分钟

覆盖知识点

9 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 只由端点异号就断定零点唯一，漏掉单调性的论证
  • 在函数定义域之外取点比较符号（如对 ln x 取 x≤0）
  • 把「图象交点个数」数错，例如漏掉 x 轴下方的交点
  • 画图代替论证，只凭图象「看起来交一次」就下结论

看完自测（3 题）

  • 判断函数零点个数有哪两条常用路径？

    看答案与理由

    答： ① 先证单调性说明至多一个，再用零点存在定理说明至少一个；② 把 改写成 ，数两条曲线图象的交点个数。

    为什么： 前者用「存在 + 唯一」，后者把代数问题换成图形问题，两条路各有适用场合。

  • 为什么单用零点存在定理不能确定零点的个数？

    看答案与理由

    答： 它只保证区间内至少有一个零点。例如 在 上两端异号，却有三个零点。

    为什么： 定理的结论只有「存在」，个数信息要靠单调性或图象补上。

  • 怎样把零点所在的区间缩得更小？

    看答案与理由

    答： 在已知异号的两个端点之间取中点，算出函数值，看它与哪一端异号，零点就落在那一半，如此反复。

    为什么： 每算一次中点，区间长度减半，零点始终被两个异号端点夹住。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。