三角函数在实际问题中的最值

方法初稿待审

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一句话 · 求三角函数模型的最值要两步走：先把模型化成 A sin(ωx+φ) + b 读出振幅与平衡位置，再检查整体角在自变量实际范围内能否取到 π/2，取得到就是 b+A，取不到就只能在端点处找。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

实际问题 → 求最大值、最小值及其时刻

讲稿

实际问题的最后一步常常是问：最大是多少，什么时候取到。

3 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- h = 2sin(πt/6 − π/2) + 5
- 0 ≤ t ≤ 6
卡住了？展开这一段的讲解
例 1：某港口水深随时间变化，模型是二倍正弦加 5。时间在 0 到 6 之间。
2第 8 段例题
- 整体角：−π/2 → π/2
- 最大值 7（t = 6），最小值 3（t = 0）
卡住了？展开这一段的讲解
解：整体角从负二分之 π 升到二分之 π。所以最大值 7，最小值 3。
3第 9 段例题
- 0 ≤ t ≤ 3 ⇒ 整体角：−π/2 → 0
- 最大值 5（t = 3）
卡住了？展开这一段的讲解
例 2：时间改成 0 到 3，整体角只升到 0，最高只能到 5。

第7章三角函数 · 限时综合卷

题量

23 题

总分

140 分

限时

95 分钟

覆盖知识点

23 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

函数 $y = A sin (ω x + φ) + b$ （ $A > 0$ ）在 $x$ 取遍实数时的最大值与最小值分别是什么？
看答案与理由
答：最大值 $b + A$ ，最小值 $b - A$ 。
为什么： 正弦的取值范围是 [−1,1]，把两端代入即得。
为什么求最值前必须先看自变量的取值范围？
看答案与理由
答：因为取到最大值要求整体角等于 $\frac{π}{2}$ ，这个值可能落在自变量范围之外。
为什么： 范围外的峰值学生看不到，函数在给定范围内只能取到端点附近的较大值或较小值。
水深模型 $h = 2 sin (\frac{π}{6} t - \frac{π}{2}) + 5$ 分别在 $t \in [0, 6]$ 与 $t \in [0, 3]$ 上的最大值是多少？
看答案与理由
答：在 $t \in [0, 6]$ 上最大值为 7；在 $t \in [0, 3]$ 上最大值只有 5。
为什么： 前者整体角能取到 $\frac{π}{2}$ ，后者只能取到 0。

未填密钥

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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