易错：忘记真数大于零；logₐ(MN) 与 logₐM+logₐN 逆用出错

易错初稿待审

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一句话 · 研究对数先写真数大于零；把 log_a(MN) 拆成 log_a M + log_a N（或反向合并）都必须保证 M>0 且 N>0，只知道 MN>0 是不够的；解完方程必须代回检验。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 2 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

两个高频错误

① 忘记真数大于零

讲稿

化简对数时有两个错误最多见。

5 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 4 段例题
- 求 y = log_2(x−1) 的定义域
- x − 1 > 0 ⇒ x > 1
卡住了？展开这一段的讲解
例一：求以二为底 x 减一的对数的定义域。只要真数大于零就行。
2第 5 段例题
- log_2(x−1) + log_2(x−3) 有意义
- x − 1 > 0 且 x − 3 > 0
- 取交集：x > 3
卡住了？展开这一段的讲解
例二：两个对数相加，有意义要几个条件？两个真数都要大于零，所以 x 大于三。
3第 8 段例题
- lg(x−1) + lg(x−2) = lg 2
- ⇒ (x−1)(x−2) = 2 且 x > 2
- ⇒ x² − 3x = 0 ⇒ x = 0 或 x = 3
- 检验：x = 0 使真数为负，舍去；取 x = 3
卡住了？展开这一段的讲解
例三：解这个对数方程。先合成一个对数，再化成整式方程。别忘了检验，答案是三。
4第 9 段例题
- lg x + lg y = 2lg(x−2y)
- ⇒ xy = (x−2y)²，且 x>0、y>0、x>2y
- ⇒ (x−y)(x−4y) = 0
- x = y 时 x−2y < 0，舍去；故 x = 4y，x÷y = 4
卡住了？展开这一段的讲解
例四：已知两个对数之和等于另一个对数的二倍，求 x 比 y。先用真数条件筛根。
5第 10 段例题
- log_a(MN) 能拆成 log_a M + log_a N 吗？
- 只有 M > 0 且 N > 0 时才可以
- 只知道 MN > 0 时拆开会写出无意义的式子
卡住了？展开这一段的讲解
例五：看到积的对数，能不能想都不想就拆成两项？不能，要先确认两个真数都是正数。

第4章指数与对数 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

110 分

限时

65 分钟

覆盖知识点

11 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

遇到含有未知量的对数式，第一步该做什么？
看答案与理由
答：先写出真数大于零的条件。
为什么： 真数大于零是定义域要求，条件决定了后面要不要舍根。
已知 MN>0，能不能把 log_a(MN) 拆成 log_a M + log_a N？
看答案与理由
答：不能，必须 M>0 且 N>0 才行。
为什么： MN>0 时 M、N 可能两个都为负，此时两个对数都无意义。
解完对数方程为什么要代回检验？
看答案与理由
答：因为化简过程可能扩大定义域，出现使真数非正的增根。
为什么： 合成或拆分对数都会改变原式有意义的范围。

未填密钥

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

内容状态公开，不藏着

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