对数换底公式及其推论

公式初稿待审

bx1-c4-s2-k4

一句话 · 换底公式 log_a N = log_c N ÷ log_c a 把不同底的对数统一到同一个底，配合两条推论 log_a b·log_b a = 1 与 log_{a^m} b^n = (n÷m)log_a b，就能把不同底的对数放在一起运算。

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 1 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

log_2 3 与 log_5 3：底不同

讲稿

以二为底三的对数，和以五为底三的对数，底数不同，能直接相加吗？

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 8 段例题
- 求 log_9 27
卡住了？展开这一段的讲解
例一：求以九为底二十七的对数。先把底和真数都写成三的幂。
2第 9 段例题
- 9 = 3²，27 = 3³
- log_9 27 = log_{3²} 3³ = (3÷2)·log_3 3 = 3/2
卡住了？展开这一段的讲解
九是三的二次方，二十七是三的三次方。指数之比是三比二，结果是二分之三。
3第 10 段例题
- 求 log_2 3 · log_3 8
卡住了？展开这一段的讲解
例二：求以二为底三的对数，乘以以三为底八的对数。先把八写成二的三次方。
4第 11 段例题
- log_3 8 = 3·log_3 2
- 原式 = 3·(log_2 3 · log_3 2) = 3×1 = 3
卡住了？展开这一段的讲解
八是二的三次方，把系数三提出来，剩下的两个对数互为倒数，乘积为一。所以结果是三。

第4章指数与对数 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

110 分

限时

65 分钟

覆盖知识点

11 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

做完题再回来看这一块，比先看更有效

换底公式把哪个量放在分母？
看答案与理由
答：以新底 c 为底、原底数 a 的对数放在分母。
为什么： 分子是真数的对数，分母是原底数的对数，顺序不能反。
log_a b 与 log_b a 有什么关系？
看答案与理由
答：互为倒数，乘积恒等于一。
为什么： 把其中一个换底，就能看出两者相乘约为 1。
log_{a^m} b^n 怎么用原底表示？
看答案与理由
答：等于 (n÷m)·log_a b。
为什么： 底与真数同时写成幂，指数之比就是新系数。

未填密钥

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