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常用对数与自然对数

概念初稿待审

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一句话 · 常用对数 lg N = log_10 N 与自然对数 ln N = log_e N 只是底数特殊的对数，运算性质与换底公式完全通用，并且都有 lg 10 = ln e = 1、lg 1 = ln 1 = 0。

开始练习（10 题）看例题本章训练

前置知识

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 13第 1 / 2 句
图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）
本段以板书为主，没有图形。
板书（跟着讲稿逐行出现）

底数 a>0 且 a≠1

讲稿

对数的底数，可以是任何大于零且不等于一的数。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

  1. 1第 8 段例题

    • 求 lg 1000，lg 0.01

    卡住了？展开这一段的讲解

    例一：求 lg 1000 与 lg 0.01。办法是把真数写成十的幂。

  2. 2第 9 段例题

    • 1000 = 10³ ⇒ lg 1000 = 3

    • 0.01 = 10⁻² ⇒ lg 0.01 = −2

    卡住了？展开这一段的讲解

    一千是十的三次方，所以结果是三。零点零一是十的负二次方，所以结果是负二。

  3. 3第 10 段例题

    • ln(e³) = 3·ln e = 3

    • ln 1 = 0

    卡住了？展开这一段的讲解

    例二：求 ln 括号 e 的三次方，以及 ln 一。真数是 e 的幂时指数直接提出来，ln 一等于零。

  4. 4第 11 段例题

    • ln 4 = 2·ln 2 ≈ 2×0.693 = 1.386

    • 1.386 > 1 ⇒ ln 4 > 1

    卡住了？展开这一段的讲解

    例三：已知 ln 2 约等于零点六九三，比较 ln 4 与一的大小。ln 4 等于两倍的 ln 2，约为一点三八六。

③章节训练

第4章 指数与对数 · 限时综合卷

题量

16 题

总分

110 分

限时

65 分钟

覆盖知识点

11 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

  • 把 lg 与 ln 当成两种陌生的新运算
  • 以为 lg(M+N) = lg M + lg N
  • 把 ln e 写成 0
  • 以为换底公式对 lg、ln 不适用
  • 在 lg、ln 后面又补写底数写成 log_10 N 的重复形式

看完自测（3 题）

  • lg 的底数是多少？为什么不写出来？

    看答案与理由

    答： 底数是 10，省略不写是约定。

    为什么： 常用对数专指以 10 为底的对数。

  • lg 与 ln 的运算性质和普通对数有区别吗？

    看答案与理由

    答： 没有区别，三条运算性质与换底公式都照用。

    为什么： 它们只是底数特殊，定义完全相同。

  • lg 1、ln 1、lg 10、ln e 分别等于多少？

    看答案与理由

    答： lg 1 = ln 1 = 0；lg 10 = ln e = 1。

    为什么： 真数为一对数为零，真数与底相同对数为一。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源
ai-draft
人工复核
未经教师人工审核
数学校验
pending
段落数
13

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。