数学定义、定理与证明的含义
概念AI 交叉复核 · 非教师审核bx1-c2-s1-k4
一句话 · 定义是对数学对象含义的明确规定，不需要证明；定理是经过证明为真的命题；证明是从定义、公理、已证定理出发的推理链。
前置知识
①板书动画演示
讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步
立规矩的句子：定义
有的句子在立规矩，有的句子在下结论。
②例题实操
4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做
- 1第 7 段例题
f(x) = x³，定义域 R
① R 关于原点对称 ✓
② f(−x) = (−x)³ = −x³ = −f(x) ✓
两条都满足 ⇒ f 是奇函数
卡住了？展开这一段的讲解
例一：用定义判断 f x 等于 x 立方是不是奇函数。
- 2第 8 段例题
f(x) = x²，f(−x) = x²
而 −f(x) = −x²
x ≠ 0 时 x² ≠ −x²
② 不满足 ⇒ f 不是奇函数
卡住了？展开这一段的讲解
例二：f x 等于 x 平方。它满足 f 负 x 等于负 f x 吗？
- 3第 9 段例题
设 f、g 都是奇函数
猜想：(f+g) 也是奇函数
猜想没证明过 ⇒ 还不是定理
卡住了？展开这一段的讲解
例三：两个奇函数的和还是奇函数吗？这只是一句猜想。
- 4第 10 段例题
(f+g)(−x) = f(−x) + g(−x)（加法定义）
= −f(x) − g(x)（f、g 是奇函数）
= −(f(x) + g(x))（提负号）
= −(f+g)(x)（加法定义）
依据齐全 ⇒ 结论成为定理
卡住了？展开这一段的讲解
例四：把这个猜想证出来。每一步都写清依据，它才升级为定理。
③章节训练
第2章 常用逻辑用语 · 限时综合卷
④易错点与自测
做完题再回来看这一块，比先看更有效
- 把「举几个例子都对」当成证明，跳过了推理链
- 以为定义也需要证明，或者用定义时漏掉其中一条要求
- 把还没证明的猜想当成定理直接使用
- 写证明只写过程，不写每一步的依据
看完自测（3 题）
定义和定理最大的区别是什么？
看答案与理由
答： 定义是对含义的明确规定，是约定的起点，不需要证明；定理是经过证明为真的命题。
为什么： 分清「规定」与「结论」，才知道哪句话能直接用、哪句话要先证。
用奇函数的定义判断 f(x)=x³ 时，要检查哪两件事？
看答案与理由
答： ① 定义域关于原点对称；② 对定义域内任意 x，都有 f(−x)=−f(x)。两条都满足才能说是奇函数。
为什么： 定义里的每一条要求都要原样满足，漏一条就不能下结论。
「两个奇函数的和是奇函数」为什么是定理而不是定义？
看答案与理由
答： 它对函数加了条件、给出了结论，并且能由 f(−x)=−f(x)、g(−x)=−g(x) 推出 (f+g)(−x)=−(f+g)(x)，是证出来的结论。
为什么： 定义规定含义，定理给出可证的结论；这条能被证出来，所以是定理。
问老师
这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。
去填密钥（在「学习记录」页）本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。
这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。
⑤这份讲解的来源与状态
内容状态公开，不藏着
- 来源
- ai-draft
- 人工复核
- 未经教师人工审核
- 数学校验
- passed
- 段落数
- 12
本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。
讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。