椭圆的定义（2a>2c）与焦点三角形

概念初稿待审

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一句话 · 椭圆是到两定点距离之和为常数 2a 的点的轨迹，前提 2a>2c；焦点三角形的周长恒为 2a+2c。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

无（本知识点是起点）。

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 4 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

板书（跟着讲稿逐行出现）

动手实验：绳子两端固定在 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 两点，笔尖绷紧绳子绕一周

讲稿

先看一个动手做过的小实验。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例已知 $F_{1} (- 4, 0)$ ， $F_{2} (4, 0)$ ， $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 10$ ，判断 $P$ 的轨迹并求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长
- $2 a = 10$ ， $2 c = ∣ F_{1} F_{2} ∣ = 8$ ，因为 $2 a > 2 c$ ，所以轨迹是椭圆
- 周长 $= 2 a + 2 c = 10 + 8 = 18$
卡住了？展开这一段的讲解
看一道具体题。两个定点 F1 和 F2 在 x 轴上，坐标是负四零和四零。动点 P 满足 PF1 加 PF2 等于十。先判断 P 的轨迹，再求焦点三角形的周长。第一步，比大小。十大于八，满足二 a 大于二 c。所以轨迹是椭圆。
2第 8 段例题
- 例上题中若 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{\circ}$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积
- 记 $∣ P F_{1} ∣ = m$ ， $∣ P F_{2} ∣ = n$ ，则 $m + n = 2 a = 10$ （由定义）
- 余弦定理： $∣ F_{1} F_{2} ∣^{2} = m^{2} + n^{2} - 2 mn cos 6 0^{\circ}$ ，即 $64 = m^{2} + n^{2} - mn$
卡住了？展开这一段的讲解
条件再加一个。还是这道题，再告诉你角 F1PF2 等于六十度，求焦点三角形的面积。只知道两边之和和夹角，还算不出来。因为 PF1 和 PF2 各有多长，并不清楚。记 PF1 为 m，PF2 为 n。手上只有两个条件。m 加 n 等于十，这是定义给的。再用一次余弦定理。
3第 9 段例题
- 例上题中若 $∠ F_{1} P F_{2} = 9 0^{\circ}$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积
- $m + n = 10$ ， $m^{2} + n^{2} = ∣ F_{1} F_{2} ∣^{2} = 64$
- $(m + n)^{2} = m^{2} + n^{2} + 2 mn \Rightarrow 100 = 64 + 2 mn \Rightarrow mn = 18$
- $S = \frac{1}{2} mn sin 9 0^{\circ} = 9$
卡住了？展开这一段的讲解
再看一个变形。如果角 F1PF2 等于九十度，面积是多少？这时候 m 加 n 还是十，两个焦点之间还是八。由勾股定理，m 平方加 n 平方等于六十四。把它代进 m 加 n 的平方里。一百等于六十四加二倍 mn，所以 mn 等于十八。面积是二分之一乘十八，等于九。
4第 10 段例题
- 例若 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 10$ ，求 $∣ P F_{1} ∣ \cdot ∣ P F_{2} ∣$ 的最大值
- $mn \leq (\frac{m + n}{2})^{2} = 25$ ，等号成立 $\Leftrightarrow m = n = 5$
- 此时 $P$ 在两焦点的中垂线上：设 $P (0, y)$ ， $2 16 + y^{2} = 10 \Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3$
卡住了？展开这一段的讲解
最后一个问题。还是 PF1 加 PF2 等于十，问 PF1 乘 PF2 的最大值。两个正数的和固定，乘积什么时候最大？用均值不等式，m 加 n 大于等于二倍根号 mn。所以 m 乘 n 小于等于二十五。取等号的条件是 m 等于 n，都等于五。这时候 P 在两个焦点的中垂线上。坐标是零和正负三。

③章节训练

第3章圆锥曲线与方程 · 限时综合卷

题量

9 题

总分

60 分

限时

45 分钟

覆盖知识点

3 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

只说「到两定点距离之和为常数」就断定是椭圆，漏掉 2a>2c 这个前提
把常数 2a 当成 a，例如 2a=10 却写成 a=10
焦点三角形周长写成 2a+c，漏掉焦距前面的那个 2
求面积时以为知道两边之和就够了，忘记用余弦定理先求出 mn

看完自测（3 题）

动点 $P$ 满足 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 10$ ，而 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 12$ ， $P$ 的轨迹是什么？
看答案与理由
答：不存在，因为 $2 a = 10 < 2 c = 12$
为什么： 定义要求 $2 a > 2 c$ ； $2 a = 2 c$ 时退化为线段 $F_{1} F_{2}$ ， $2 a < 2 c$ 时一个点也没有。
椭圆上一点 $P$ 与两个焦点构成的三角形，周长是多少？
看答案与理由
答： $2 a + 2 c$ ，与 $P$ 的位置无关
为什么： $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 2 a$ ， $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 c$ ，相加即得定值。
已知 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 10$ ， $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 8$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{\circ}$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积。
看答案与理由
答： $33$
为什么： 由 $m + n = 10$ 与余弦定理得 $64 = m^{2} + n^{2} - mn = 100 - 3 mn$ ，所以 $mn = 12$ ， $S = \frac{1}{2} mn sin 6 0^{\circ} = 33$ 。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。