椭圆的几何性质：范围、顶点、离心率

概念初稿待审

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一句话 · 给你椭圆方程：先看分母定 a、b，再算 c，长轴短轴、离心率、焦点就全出来了。

开始练习（6 题）看例题本章训练

前置知识

椭圆的标准方程（焦点在x轴/y轴）与a、b、c关系

①板书动画演示

讲稿 / 板书 / 图形三轨同步：听到哪一句，板书和图形就走到哪一步

引入1 / 12第 1 / 5 句三轨同步：语音 · 板书 · 图形

图形（由 draw 指令 JSON 确定性渲染，不是模型画的美术图）

本段以板书为主，没有图形。

板书（跟着讲稿逐行出现）

讲稿

你已经会画椭圆了，也会写它的标准方程。

②例题实操

4 段例题已按「读题 → 思路 → 关键步骤 → 写出过程」拆开，可以不跟播放器一步步做

1第 7 段例题
- 例已知椭圆 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ ，求长轴长、短轴长、离心率与焦点坐标
- 第一步：看分母定 $a$ 、 $b$ —— 分母大的那个是 $a^{2}$
- $a^{2} = 25, b^{2} = 9 \Rightarrow a = 5, b = 3$
卡住了？展开这一段的讲解
来看一道基础题。已知椭圆 x 方比 25 加 y 方比 9 等于 1。求它的长轴长、短轴长、离心率和焦点坐标。第一步永远是先定 a 和 b。两个分母 25 和 9，谁大谁是 a 方。所以 a 方等于 25，a 等于 5，b 等于 3。
2第 8 段例题
- $c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4$
- 长轴长 $2 a = 10$ ；短轴长 $2 b = 6$ ； $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$
- 焦点 $F_{1} (- 4, 0)$ 、 $F_{2} (4, 0)$
- 直角三角形 $O B_{1} F_{2}$ ： $b$ 、 $c$ 是直角边， $a$ 是斜边
卡住了？展开这一段的讲解
接下来求 c。记住勾股关系，a 方等于 b 方加 c 方。所以 c 方等于 25 减 9 等于 16，c 等于 4。四个答案就出来了。长轴长 2a 等于 10。短轴长 2b 等于 6。离心率 e 等于 c 比 a，是五分之四。焦点是负四零和四零。看我画的直角三角形，b 和 c 是直角边，a 是斜边。
3第 9 段例题
- 例焦点在 $x$ 轴上， $e = \frac{3}{2}$ ，短轴长 $2$ ，求标准方程与焦点坐标
- 短轴长 $2 b = 2 \Rightarrow b = 1$
- 还差 $a$ ： $e = \frac{c}{a}$ ，且 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$
卡住了？展开这一段的讲解
第二道题反过来问。已知焦点在 x 轴上，离心率是二分之根号三，短轴长是 2。求标准方程和焦点坐标。先处理短轴长。短轴长是 2b，等于 2，所以 b 等于 1。现在 b 有了，e 也有了，就差 a。
4第 10 段例题
- 由 $e = \frac{c}{a}$ 得 $c = a e$ ，代入 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ：
- $a^{2} = b^{2} + a^{2} e^{2} \Rightarrow a^{2} (1 - e^{2}) = b^{2} \Rightarrow a^{2} = \frac{b ^{2}}{1 - e ^{2}}$
- 代入 $b = 1$ 、 $e^{2} = \frac{3}{4}$ ： $a^{2} = \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = 4 \Rightarrow a = 2$
- $c = a e = 3$ ，焦点 $(\pm 3, 0)$
- 标准方程 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$
卡住了？展开这一段的讲解
把两个关系合起来。e 等于 c 比 a，所以 c 等于 a 乘 e。代进 a 方等于 b 方加 c 方。得到 a 方等于 b 方加 a 方 e 方。移项，a 方乘一减 e 方等于 b 方。所以 a 方等于 b 方除以一减 e 方。代入 b 等于 1，e 方等于四分之三，一减 e 方就是四分之一。a 方等于 4，a 等于 2。c 等于 a 乘 e 等于根号三，焦点是正负根号三零。

③章节训练

第3章圆锥曲线与方程 · 限时综合卷

题量

9 题

总分

60 分

限时

45 分钟

覆盖知识点

3 个

限时交卷后逐题给引导性解析（三层，一次放一层），错题自动进错题本。

开始本章训练先练这一节

④易错点与自测

做完题再回来看这一块，比先看更有效

把长轴长写成 a（应该是 2a）
忘记 a 是最大的那一条，看错谁是 a²
由离心率求 a 时忘了 a²=b²+c²，方程列不出来
把离心率当成长度，或拿两个不同椭圆的 a、c 去比
焦点在 y 轴时，把 a² 的位置写错

看完自测（3 题）

椭圆 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 的长轴长、短轴长、离心率分别是多少？
看答案与理由
答：长轴长 $2 a = 10$ ，短轴长 $2 b = 6$ ，离心率 $e = \frac{4}{5}$
为什么： $a^{2} = 25$ 说明 $a = 5$ ； $c = 25 - 9 = 4$ ，所以 $e = \frac{4}{5}$ 。问「长轴长」一定要乘 2。
离心率 $e$ 变大时，椭圆变扁还是变圆？为什么？
看答案与理由
答：变扁。因为 $e = \frac{c}{a}$ 越大表示 $c$ 越接近 $a$ ，由 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ 知 $b$ 越小，短轴越短。
为什么： $e$ 是比值，它只决定形状，不决定大小 —— 决定大小的是 $a$ 。
已知椭圆焦点在 $x$ 轴上、 $e = \frac{3}{2}$ 、短轴长为 $2$ ，它的标准方程是什么？
看答案与理由
答： $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$
为什么： 短轴长 $2 b = 2$ 得 $b = 1$ ；由 $a^{2} = \frac{b ^{2}}{1 - e ^{2}} = \frac{1}{1 - 3/4} = 4$ 得 $a = 2$ 。

未填密钥

问老师

这个功能要调用 AI，需要先填一次你自己的接口密钥。

去填密钥（在「学习记录」页）

本站不预置 AI 密钥，需要你自己填一次（在「学习记录」页）。填之前，知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测、错题本与学习报告全部照常可用。

这是刻意的设计：知识地图、三轨讲解、梯度练习、章测与学习报告全部离线可用，只有 AI 相关的几个功能需要联网。

⑤这份讲解的来源与状态

内容状态公开，不藏着

来源: ai-draft
人工复核: 未经教师人工审核
数学校验: passed
段落数: 12

本站自编讲义，非教材原文摘录；未引用教材页码、例题编号。

讲解与题目为本站自编，不是教材原文；本页不标示任何未核验的高考真题来源。